Quadratische Funktion

Grundform und Parabel

Eine quadratische Funktion, auch ganzrationale Funktion 2. Grades, hat die Form f(x)=ax²+bx+c mit a≠0. Ihr Graph ist die Parabel y=ax²+bx+c. Die Koeffizienten a, b und c bestimmen Form, Lage und damit auch den Wertebereich des Graphen.

Die Quadratfunktion f(x)=x² heißt Normalparabel. Sie ist nach oben geöffnet, zur y-Achse symmetrisch und hat den Scheitelpunkt im Koordinatenursprung. Spezielle quadratische Funktionen haben die Form f(x)=ax² mit a≠0; auch ihre Parabeln sind zur y-Achse symmetrisch und haben den Scheitelpunkt im Ursprung.

Wirkung der Parameter

Der Parameter a bestimmt Öffnungsrichtung und Breite der Parabel: Bei a>0 ist sie nach oben, bei a<0 nach unten geöffnet. Für |a|<1 ist der Graph in y-Richtung gestaucht; er erscheint breiter und flacher. Für |a|>1 ist er in y-Richtung gestreckt; er erscheint schmaler und steiler. Bei a=-1 ist die Normalparabel an der x-Achse gespiegelt.

Es gilt f(0)=c. Daher ist c der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse. Erhöht man c um eins, verschiebt sich der Graph um eine Einheit nach oben; verringert man c um eins, verschiebt er sich um eine Einheit nach unten.

b gibt die Steigung der Parabel am Schnittpunkt mit der y-Achse an. Sein Vorzeichen zeigt, ob die y-Achse den fallenden oder den ansteigenden Ast schneidet, und erlaubt Rückschlüsse auf Anzahl und mögliche Lage von Nullstellen. Erhöht man b um eins, wird der Graph um 1/(2a) nach links und um (2b+1)/(4a) nach unten verschoben. Verringert man b um eins, wird er um 1/(2a) nach rechts und um (2b-1)/(4a) nach oben verschoben.

Scheitelpunkt bestimmen

Der Scheitelpunkt bestimmt die Lage der Parabel. Für a>0 ist er ihr absolutes Minimum, für a<0 ihr absolutes Maximum. In der Scheitelpunktform f(x)=a(x-xₛ)²+yₛ lautet er S(xₛ|yₛ); die Symmetrieachse ist die zur y-Achse parallele Gerade durch xₛ.

Mit quadratischer Ergänzung wird die Normalform in die Scheitelpunktform umgeformt. Beispiel: Aus f(x)=2x²+4x+5 folgt 2(x²+2x)+5=2(x²+2x+1-1)+5=2(x+1)²+3. Damit ist der Scheitelpunkt S(-1|3).

Über die Ableitung gilt f′(x)=2ax+b. Aus f′(xₛ)=0 folgt xₛ=-b/(2a) und durch Einsetzen yₛ=f(xₛ)=c-b²/(4a). Bei f(x)=2x²+4x+5 ergibt f′(x)=4x+4, also xₛ=-1 und yₛ=3. Sind die Nullstellen x₁ und x₂ bekannt, gilt außerdem xₛ=(x₁+x₂)/2 und yₛ=f(xₛ)=-a/4·(x₂-x₁)².

Nullstellen, Faktoren und Umkehrung

Nullstellen sind die Lösungen von f(x)=0, also von ax²+bx+c=0. Die abc-Formel lautet x₁,₂=(-b±√(b²-4ac))/(2a). Der Ausdruck b²-4ac unter der Wurzel heißt Diskriminante. Ist er negativ, besitzt die Funktion keine reellen Nullstellen.

In Scheitelpunktform f(x)=a(x-xₛ)²+yₛ erhält man vorhandene Nullstellen mit x₁,₂=xₛ±√(-yₛ/a). Bei den Nullstellen x₁ und x₂ lässt sich die Funktion als Produkt von Linearfaktoren schreiben: f(x)=a·(x-x₁)·(x-x₂).

Eine ganze Parabel besitzt keine Umkehrfunktion, weil sie nicht überall monoton ist. Auf jedem Ast, also für x≤xₛ beziehungsweise x≥xₛ, gibt es jedoch eine Umkehrfunktion. Zusammengefasst lautet sie x₁,₂=(-b±√(b²-4a(c-y)))/(2a). Reelle Werte liegen bei a>0 für y≥(4ac-b²)/(4a) und bei a<0 für y≤(4ac-b²)/(4a) vor.

Quadratische Polynome

Über einem beliebigen Ring R ist ein quadratisches Polynom ein Ausdruck ax²+bx+c∈R[x] mit a,b,c∈R und a≠0. Formal ist es ein Element des Polynomrings vom Grad 2 und definiert eine Abbildung von R nach R. Für R=ℝ entsteht die quadratische Funktion im üblichen Sinn. Ist R ein algebraisch abgeschlossener Körper, zerfällt jedes quadratische Polynom in zwei Linearfaktoren.

In n Variablen haben quadratische Polynome die Form Σᵢ,ⱼ₌₁ⁿaᵢ,ⱼxᵢxⱼ+Σᵢ₌₁ⁿbᵢxᵢ+c∈R[x₁,…,xₙ], wobei nicht alle aᵢ,ⱼ null sind. Sie bilden von Rⁿ nach R ab. Ihre Nullstellenmengen heißen Quadriken; bei n=2 heißen sie auch Kegelschnitte.