Ganzrationale Funktion

Begriff, Normalform und grundlegende Eigenschaften

Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist eine reelle Funktion, die als endliche Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten dargestellt werden kann. Sie wird ausschließlich durch Addition, Subtraktion und Multiplikation aufgebaut und gehört zu den rationalen Funktionen. Ihre Normalform lautet

f(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_2x²+a_1x+a_0=∑_{k=0}^n a_kx^k,

wobei n∈ℕ, alle a_k reelle Zahlen und a_n≠0 sind. n heißt Grad, die Zahlen a_k heißen Koeffizienten und a_n heißt Leitkoeffizient. a_0 ist das Absolutglied. Das Nullpolynom f(x)=0 ist ebenfalls ganzrational, besitzt aber keinen definierten Grad.

Spezialfälle sind konstante Funktionen vom Grad 0, lineare Funktionen vom Grad 1, quadratische Funktionen vom Grad 2, kubische Funktionen vom Grad 3 und quartische Funktionen vom Grad 4. Ist nur a_n von null verschieden, liegt die Potenzfunktion f(x)=a_nx^n vor. Beispielsweise hat f(x)=−2x³+3x²−5x+4 den Grad 3. Der Term −2x(x−1)(x+3)² ergibt nach Ausmultiplizieren −2x⁴−10x³−6x²+18x und hat daher den Grad 4.

Summe, Produkt und Verkettung ganzrationaler Funktionen sind wieder ganzrational. Für Funktionen f und g gilt deg(f+g)≤max(deg f,deg g) und deg(f·g)=deg f+deg g.

Enthält ein Funktionsterm nur gerade Exponenten, ist die Funktion gerade: f(−x)=f(x), und ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei ausschließlich ungeraden Exponenten ist sie ungerade: f(−x)=−f(x), und der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei gemischten Exponenten besteht keine solche einfache Symmetrie, andere Symmetrieachsen oder -punkte sind aber möglich. Jeder quadratische Funktionsgraph ist zur senkrechten Achse durch seinen Scheitelpunkt symmetrisch; jeder kubische Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.

Grenzverhalten und Wachstum

Für x→±∞ bestimmt der höchste Term a_nx^n das Verhalten einer nicht konstanten ganzrationalen Funktion. Der Graph verhält sich dort wie die Potenzfunktion g(x)=a_nx^n:

• n gerade, a_n>0: f(x)→∞ für x→±∞; die Wertemenge ist nach unten durch das absolute Minimum beschränkt.

• n gerade, a_n<0: f(x)→−∞ für x→±∞; die Wertemenge ist nach oben durch das absolute Maximum beschränkt.

• n ungerade, a_n>0: f(x)→−∞ für x→−∞ und f(x)→∞ für x→∞; die Wertemenge ist ℝ.

• n ungerade, a_n<0: f(x)→∞ für x→−∞ und f(x)→−∞ für x→∞; die Wertemenge ist ℝ.

Ganzrationale Funktionen wachsen für hinreichend große Werte langsamer als jede Exponentialfunktion mit einer Basis größer als 1.

In der Nähe von x=0 bestimmen die Terme mit niedrigen Exponenten den Verlauf. Der Graph schneidet die y-Achse bei a_0 und besitzt dort die Steigung a_1; seine Tangente hat die Gleichung y=a_1x+a_0. Beispielsweise verhält sich f(x)=−2x⁵+4x³−3x+1 für große |x| wie −2x⁵, also von links oben nach rechts unten. Nahe null verhält sich der Graph wie −3x+1, schneidet die y-Achse bei 1 und hat dort die Steigung −3.

Nullstellen und ihre Berechnung

Eine Nullstelle ist ein Wert ξ mit f(ξ)=0. Eine Funktion vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen, wenn Vielfachheiten mitgezählt werden. Das Nullpolynom hat unendlich viele, eine von null verschiedene konstante Funktion keine Nullstelle. Über den komplexen Zahlen besitzt eine Funktion vom Grad n≥1 nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n Nullstellen einschließlich ihrer Vielfachheiten.

In einer Linearfaktorzerlegung

f(x)=(x−x_1)^{k_1}·(x−x_2)^{k_2}⋯(x−x_m)^{k_m}·g(x)

sind x_1,…,x_m die Nullstellen und k_1,…,k_m ihre Vielfachheiten, sofern g keine Nullstellen besitzt. x_0 ist genau dann eine k-fache Nullstelle, wenn f(x_0)=f′(x_0)=…=f^{(k−1)}(x_0)=0 und f^{(k)}(x_0)≠0. Bei ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die x-Achse und wechselt das Vorzeichen; ab Vielfachheit 3 liegt dort ein Terrassenpunkt vor. Bei gerader Vielfachheit berührt der Graph die Achse ohne Vorzeichenwechsel und hat dort einen Extrempunkt. So besitzt −0,01·x³·(x−2)·(x+3)²·(x²+1) die dreifache Nullstelle 0, die einfache Nullstelle 2 und die doppelte Nullstelle −3.

Bei geradem beziehungsweise ungeradem Grad ist die Zahl der Nullstellen, mit Vielfachheiten gezählt, gerade beziehungsweise ungerade. Daher hat jede reelle ganzrationale Funktion ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle. Reelle Polynome lassen sich bis auf die Reihenfolge eindeutig in lineare und quadratische Faktoren zerlegen; nicht reelle Nullstellen treten bei reellen Koeffizienten als konjugiert komplexe Paare auf.

Lineare Gleichungen werden durch Äquivalenzumformungen gelöst; für Grade 2, 3 und 4 existieren allgemeine Lösungsformeln. Allgemein können unter anderem Newton-Verfahren, Regula falsi, Bairstow-Verfahren oder Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren eingesetzt werden, wobei mehrfache oder eng benachbarte Nullstellen Genauigkeit und Konvergenz verschlechtern können. Eine bekannte Nullstelle erlaubt es, den zugehörigen Linearfaktor durch Polynomdivision abzutrennen. Bei ausschließlich geraden Potenzen hilft z=x²; bei ausschließlich ungeraden Potenzen ist 0 eine Nullstelle, danach bleibt nach Division durch x ein Polynom mit geraden Potenzen. Reziproke Polynome mit symmetrischen Koeffizienten können durch z=x+1/x beziehungsweise z=x−1/x auf ungefähr den halben Grad reduziert werden.

Nullstellenschranken

Nullstellenschranken grenzen die Lage von Nullstellen allein mithilfe von Grad und Koeffizienten ein. Eine positive Zahl B ist eine reelle Nullstellenschranke, wenn alle reellen Nullstellen in [−B,B] liegen. Für ein normiertes Polynom f(X)=X^n+∑_{i=0}^{n−1}a_iX^i gilt beispielsweise: Jedes B>0 mit

B^n≥∑_{i=0}^{n−1}|a_i|B^i

ist eine Schranke für alle reellen Nullstellen und sogar für die Beträge aller komplexen Nullstellen. Direkte Spezialfälle sind B=1+max_{i=0,…,n−1}|a_i| und B=max(1,∑_{i=0}^{n−1}|a_i|). Weitere obere reelle Schranken liefern die Cauchy-Regel, die Newton-Regel sowie die Regel von Lagrange und Maclaurin.

Bei komplexen Polynomen entspricht der Kreisscheibe um 0 mit Radius B das reelle Intervall. Gilt für einen Index k

|a_k|B^k≥∑_{i∈{0,…,n}{k}}|a_i|B^i,

so enthält dieser Kreis nach einer Folgerung aus dem Satz von Rouché genau k komplexe Nullstellen. Für k=n werden damit alle Nullstellen eingeschlossen; für k=0 erhält man einen nullstellenfreien Kreis.

Ableitungen, Stammfunktionen und Kurvendiskussion

Ganzrationale Funktionen sind auf ganz ℝ stetig differenzierbar. Für

f(x)=∑_{k=0}^n a_kx^k

gilt

f′(x)=∑_{k=1}^n ka_kx^{k−1}.

Auf jedem kompakten Intervall sind sie integrierbar und besitzen die Stammfunktionen

∫(∑{k=0}^n a_kx^k)dx=∑{k=0}^n [a_k/(k+1)]x^{k+1}+c, c∈ℝ.

Beispielsweise hat f(x)=2x³−4x²+5x−1 die Ableitung f′(x)=6x²−8x+5 und die Stammfunktionen 1/2x⁴−4/3x³+5/2x²−x+c.

Extremstellen sucht man zunächst unter den Nullstellen von f′. Wechselt f′ von − nach +, liegt ein Minimum vor; beim Wechsel von + nach − ein Maximum. Ist f′(x_0)=0 und f″(x_0)>0 beziehungsweise f″(x_0)<0, liegt entsprechend eine Minimal- beziehungsweise Maximalstelle vor. Bei f″(x_0)=0 ist keine eindeutige Entscheidung möglich. Eine Funktion vom Grad n besitzt höchstens n−1 Extremstellen. Bei geradem Grad ist ihre Anzahl ungerade, bei ungeradem Grad gerade. Jede Funktion geraden Grades besitzt je nach Vorzeichen von a_n ein absolutes Minimum oder Maximum.

Wendestellen sucht man zunächst unter den Nullstellen von f″. Wechselt f″ dort das Vorzeichen, liegt eine Wendestelle vor. Insbesondere genügt f″(x_0)=0 und f‴(x_0)≠0. Ist zusätzlich f′(x_0)=0, liegt ein Terrassenpunkt vor. Eine Funktion vom Grad n besitzt höchstens n−2 Wendestellen; bei geradem Grad ist ihre Anzahl gerade, bei ungeradem Grad ungerade. Jede Funktion ungeraden Grades ab Grad 3 hat mindestens eine Wendestelle. Bei kubischen Funktionen liegen Hoch- und Tiefpunkt, falls vorhanden, symmetrisch zum Wendepunkt.

Funktionsterme bestimmen und Anwendungen

Soll eine ganzrationale Funktion aus Punkten, Steigungen oder weiteren Bedingungen bestimmt werden, setzt man zunächst einen allgemeinen Funktionsterm passenden Grades an. Danach bildet man die benötigten Ableitungen und übersetzt alle Bedingungen in Gleichungen für die Koeffizienten. Das entstehende lineare Gleichungssystem liefert den gesuchten Term.

Gesucht sei beispielsweise eine zur y-Achse symmetrische Funktion möglichst kleinen Grades, die im Wendepunkt W(1|3) die Steigung 2 hat. Wegen der Symmetrie kommen nur gerade Exponenten infrage; wegen des Wendepunkts ist Grad 4 der kleinste mögliche Grad. Mit f(x)=ax⁴+bx²+c, f′(x)=4ax³+2bx und f″(x)=12ax²+2b ergeben sich aus Punkt, Steigung und Wendebedingung die Gleichungen a+b+c=3, 4a+2b=2 und 12a+2b=0. Ihre Lösung ist a=−0,25, b=1,5 und c=1,75, also f(x)=−0,25x⁴+1,5x²+1,75.

Ganzrationale Funktionen beschreiben unter anderem Geländeformen, Sprungschanzen, Balkendurchbiegungen, Steuertarife und wirtschaftliche Erlösfunktionen. Schneidet man aus den Ecken einer rechteckigen Pappe der Länge l und Breite b Quadrate mit Seitenlänge x aus und faltet eine offene Schachtel, gilt V(x)=4x³−2(l+b)x²+lbx. Eine dreiseitige Kugelpyramide mit n Kugeln entlang einer Grundkante enthält insgesamt (n³+3n²+2n)/6 Kugeln.

Außerdem dienen Polynome zur Annäherung komplizierter Funktionen, zur Polynom- und Splineinterpolation vorgegebener Funktionswerte sowie zur effizienten numerischen Auswertung mit dem Horner-Schema.