Quadratische Form

Grundidee und Motivation

Eine quadratische Form ist eine Funktion, die sich in wichtigen Eigenschaften wie die Funktion x↦x² verhält. In der einfachsten Sicht ist sie ein homogenes Polynom vom Grad 2, also ein Polynom, das ausschließlich Terme zweiten Grades enthält. Ein bekanntes Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors v=(x,y,z,…): |v|²=x²+y²+z²+…

Quadratische Formen sind wichtig, weil sie in vielen Bereichen der Mathematik auftreten. In der Geometrie dienen sie dazu, Metriken einzuführen; in der Elementargeometrie beschreiben sie Kegelschnitte. Über den rationalen oder ganzen Zahlen sind sie ein klassischer Gegenstand der Zahlentheorie, zum Beispiel bei der Frage, welche Zahlen durch eine quadratische Form dargestellt werden können.

Die Motivation kommt unter anderem aus Vektorräumen mit Skalarprodukt. Ist V ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨·,·⟩, so definiert man die Norm durch ||x||:=√⟨x,x⟩. Betrachtet man statt der Norm die Abbildung q:x↦⟨x,x⟩, vermeidet man die Quadratwurzel und kann leichter auf allgemeinere Bilinearformen und andere Grundkörper K verallgemeinern. Dabei gelten die Beziehungen q(ax)=a²q(x) für alle a∈K und x∈V sowie q(x+y)+q(x−y)=2q(x)+2q(y) für alle x,y∈V.

Definitionen

Eine quadratische Form in n Unbestimmten über einem kommutativen Ring mit Einselement A ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 in n Unbestimmten mit Koeffizienten in A. Der Begriff „Form“ wurde von Legendre geprägt.

Für n=2 spricht man von binären quadratischen Formen. Eine binäre quadratische Form hat die Gestalt aX²+bXY+cY² mit a,b,c∈A. Für n=3 spricht man von ternären quadratischen Formen. Eine ternäre quadratische Form hat die Gestalt aX²+bXY+cXZ+dY²+eYZ+fZ² mit a,…,f∈A.

Allgemeiner kann man quadratische Formen auf A-Moduln M definieren. Eine quadratische Form auf M ist eine Abbildung q:M→A mit zwei Eigenschaften: Für alle a∈A und x∈M gilt q(ax)=a²q(x). Außerdem ist die durch b(x,y):=q(x+y)−q(x)−q(y) definierte Abbildung b:M×M→A linear in beiden Argumenten, also eine Bilinearform auf M. Diese Bilinearform ist automatisch symmetrisch, das heißt b(x,y)=b(y,x), und heißt die zu q gehörige symmetrische Bilinearform.

Ein quadratischer Modul ist ein Paar (M,q), bestehend aus einem A-Modul M und einer quadratischen Form q auf M. Zwei Elemente x,y∈M heißen q-orthogonal beziehungsweise b-orthogonal, wenn b(x,y)=0 gilt. Ein quadratischer Raum ist ein quadratischer Modul (V,q), bei dem V ein Vektorraum ist; der zugrunde liegende Ring ist dann ein Körper.

Bilinearformen, Matrizen und Definitheit

Im Artikel wird anschließend angenommen, dass 2 im Ring A invertierbar ist. Das gilt insbesondere für Körper der Charakteristik ungleich 2, zum Beispiel für die reellen oder komplexen Zahlen.

Einer quadratischen Form q(x)=∑_{1≤i≤j≤n} qᵢⱼxᵢxⱼ kann man eine Dreiecksmatrix Q zuordnen. Dann lässt sich q(x) als xᵀQx beziehungsweise als xᵀQᵀx auffassen. Unter der Voraussetzung, dass 2 invertierbar ist, gibt es eine eindeutige Entsprechung zwischen quadratischen Formen in n Unbestimmten und symmetrischen Bilinearformen auf Aⁿ. Aus einer quadratischen Form q erhält man durch Polarisierung die symmetrische Bilinearform B(x,y)=1/2·(q(x+y)−q(x)−q(y)). Umgekehrt gilt q(x)=B(x,x).

Durch eine Substitution y=Sx mit einer n-reihigen Matrix S entsteht aus einer Form eine neue quadratische Form yᵀ(SᵀQS)y. Ist S invertierbar, kann man die ursprüngliche Form wieder zurückgewinnen. So erhält man mithilfe einer Matrixgruppe Γ eine Äquivalenzrelation auf der Menge quadratischer Formen; man spricht von Γ-äquivalenten Formen.

Für reelle oder rationale Formen kann man über Matrixkriterien für Q+Qᵀ Aussagen zur Definitheit machen. Eine Form heißt positiv definit, wenn ihr Wertebereich über ℝⁿ für von Null verschiedene Eingaben nur positive Werte annimmt; entsprechend heißt sie negativ definit, wenn nur negative Werte auftreten. Wenn keine solche Beschränkung gilt, heißt sie indefinit. Nimmt sie für von Null verschiedene Eingaben nur positive beziehungsweise negative Werte sowie Null an, heißt sie positiv beziehungsweise negativ semidefinit.

Klassifikation über wichtigen Zahlbereichen

Über den reellen Zahlen beschreibt der Trägheitssatz von Sylvester die quadratischen Formen. Ist V ein ℝ-Vektorraum, dann ist jede quadratische Form q:V→ℝ diagonalisierbar. Es gibt also eine Basis e₁,…,eₙ von V, sodass q(λ₁e₁+…+λₙeₙ)=λ₁²+…+λₐ²−λₐ₊₁²−…−λₐ₊ᵦ² für gewisse a,b mit a+b≤n gilt. Die Isomorphieklasse einer quadratischen Form wird daher durch ihren Rang a+b und ihre Signatur a−b bestimmt.

Quadratische Formen über ℚ wurden von Minkowski klassifiziert. Hasse verallgemeinerte dies später auf quadratische Formen über Zahlkörpern. Nach dem Satz von Hasse-Minkowski sind zwei quadratische Formen genau dann isomorph, wenn alle ihre Vervollständigungen, also die reellen, komplexen und p-adischen, jeweils isomorph sind.

Über den ganzen Zahlen betrachtet man unter anderem positiv-definite quadratische Formen. Zwei solche Formen (V,q) und (V′,q′) über ℤ haben dasselbe Geschlecht, wenn man für alle n∈ℕ durch Erweiterung mit Skalaren zu ℤ/nℤ isomorphe quadratische Formen über ℤ/nℤ erhält. Die Anzahl der Isomorphieklassen desselben Geschlechts kann mit der Massenformel von Smith-Minkowski-Siegel bestimmt werden.

Zahlentheoretische Fragen und Beispiele

In der elementaren Zahlentheorie fragt man, ob eine gegebene ganzzahlige quadratische Form mit ganzzahligen Argumenten einen vorgegebenen Wert annehmen kann. Man sagt dann, die Form stellt oder repräsentiert diesen Wert. Die Gruppen SLₙ(ℤ), also die n-reihigen ganzzahligen Matrizen mit Determinante 1, und GLₙ(ℤ), also die n-reihigen ganzzahligen Matrizen mit Determinante ±1, bilden sowohl das Gitter ℤⁿ als auch die Menge der teilerfremden Zahlen in ℤⁿ bijektiv auf sich ab. Deshalb stehen einzelne Ergebnisse oft für ganze Familien äquivalenter Formen.

Ein klassisches Beispiel sind die ganzzahligen Lösungen von x²+y²=z², die Pythagoräische Zahlen heißen. Die bekannteste Lösung ist 3²+4²=5²; sie ist die kleinste von unendlich vielen Lösungen. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Satz von Lagrange oder Vier-Quadrate-Satz: Die Form w²+x²+y²+z² stellt alle natürlichen Zahlen dar.

Für Gleichungen der Form ax²+by²+cz²=0 mit a,b,c ganzzahlig, quadratfrei, paarweise teilerfremd und nicht alle vom gleichen Vorzeichen gibt es ein Kriterium von Legendre. Eine nicht-triviale Lösung existiert genau dann, wenn −ab mod c, −bc mod a und −ca mod b quadratische Reste im jeweiligen Modul sind.

Auch Primzahlen können durch quadratische Formen beschrieben werden. Die Primzahlen der Form x²+y² sind genau 2 sowie die Primzahlen, die ≡1 mod 4 sind; diese Beobachtung geht auf Fermat zurück. Die Primzahlen der Form x²+xy+y² sind genau 3 sowie die Primzahlen, die ≡1 mod 3 sind. Mit Primzahlen der Form x²+ny² befasst sich das Buch von Cox.

Wenn zwei quadratische Formen durch eine Matrix A∈GLₙ(ℤ) auseinander hervorgehen, dann stellt eine ganze Zahl genau dann einen Wert der einen Form dar, wenn sie auch einen Wert der anderen Form darstellt. In der Zahlentheorie gelten solche Formen deshalb als äquivalent. Für Formen in zwei Variablen wurde das Problem eines möglichst einfachen Repräsentantensystems von Gauß in Kapitel 5 der „Disquisitiones Arithmeticae“ ausführlich diskutiert. Im positiv definiten Fall entspricht dies heute der Suche nach einem Fundamentalbereich für die Wirkung von GL(n,ℤ) auf GL(n,ℝ)/O(n), dem Raum der positiv definiten quadratischen Formen in n Variablen. Für n=2 kann dieser Raum mit der hyperbolischen Ebene identifiziert werden.

Verwandter Begriff

Die projektive Nullstellenmenge einer quadratischen Form wird als Quadrik bezeichnet. Eine Nullstellenmenge besteht aus den Punkten, an denen die quadratische Form den Wert 0 annimmt; „projektiv“ verweist dabei auf den projektiven geometrischen Rahmen, der im Artikel nur benannt, aber nicht weiter ausgeführt wird.