Polynom

Grunddefinition und Aufbau

Ein Polynom ist ein algebraischer Term, der als endliche Summe von Vielfachen ganzzahliger Potenzen einer Variablen oder Unbestimmten dargestellt wird:

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙxⁿ = ∑ᵢ₌₀ⁿ aᵢxⁱ, n ∈ ℕ₀.

Die Zahlen aᵢ heißen Koeffizienten; sie können beispielsweise reelle Zahlen oder allgemeiner Elemente eines Rings sein. x ist die Unbestimmte. Die Exponenten sind natürliche Zahlen, und die Summe ist stets endlich. Unendliche Summen solcher Potenzen heißen dagegen formale Potenzreihen.

Der Koeffizient a₀ heißt Absolutglied. Die Terme a₁x, a₂x² und a₃x³ werden lineares, quadratisches beziehungsweise kubisches Glied genannt. Der höchste Exponent i, dessen Koeffizient aᵢ nicht null ist, heißt Grad des Polynoms. Der zugehörige Koeffizient heißt Leitkoeffizient. Für das Nullpolynom wird der Grad als −∞ definiert. Ein Polynom mit Leitkoeffizient 1 heißt normiert oder monisch; sind seine Koeffizienten teilerfremd beziehungsweise ist sein Inhalt 1, heißt es primitiv.

Polynomfunktionen und besondere Grade

In der elementaren Algebra wird ein Polynom als Funktion in x aufgefasst und Polynomfunktion genannt. Als Definitionsbereich kommen verschiedene R-Algebren infrage; häufig verwendet man die ganzen, reellen oder komplexen Zahlen. Die Koeffizienten stammen aus einem Ring R, zum Beispiel einem Körper oder einem Restklassenring.

Typische Bezeichnungen richten sich nach dem Grad:

• Grad 0: konstante Funktion, zum Beispiel P(x) = −1.
• Grad 1: lineare beziehungsweise genauer affin lineare Funktion, zum Beispiel P(x) = 3x + 5.
• Grad 2: quadratische Funktion.
• Grad 3: kubische Funktion.
• Grad 4: quartische Funktion.

Beispiel: P(x) = 9x³ + x² + 7x − 3,8 ist ein Polynom dritten Grades. Der Leitkoeffizient ist 9; die weiteren Koeffizienten sind 1, 7 und −3,8.

Das reverse Polynom eines Polynoms P(x) = ∑ᵢ₌₀ⁿ aᵢxⁱ mit a₀, aₙ ≠ 0 entsteht durch Umkehrung der Koeffizientenfolge: P_rev(x) = ∑ᵢ₌₀ⁿ aₙ₋ᵢxⁱ. Die Menge aller reellen Polynomfunktionen endlichen Grades bildet einen Vektorraum.

Nullstellen und Lösbarkeit

Eine Nullstelle, Wurzel oder Lösung einer Polynomgleichung ist ein Wert x, für den P(x) = 0 gilt. Eine Polynomfunktion über einem Körper oder allgemeiner über einem Integritätsring besitzt höchstens so viele Nullstellen, wie ihr Grad angibt.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass eine komplexe Polynomfunktion vom Grad n ≥ 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt. Werden Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt, gibt es genau n Nullstellen. Bei (x − 2)² ist x = 2 beispielsweise eine doppelte Nullstelle. Deshalb lässt sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in Linearfaktoren zerlegen.

Allgemeiner gibt es zu jedem Körper K eine algebraische Körpererweiterung L, in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten aus K in Linearfaktoren zerfallen. L heißt dann algebraischer Abschluss von K.

Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades können mit exakten Formeln berechnet werden, bei quadratischen Gleichungen beispielsweise mit der pq-Formel. Für höhere Grade ist eine exakte Faktorisierung mit Wurzelzeichen nur in Spezialfällen möglich. Dies ist die Aussage des Satzes von Abel-Ruffini.

Polynome als Elemente eines Polynomrings

In der abstrakten Algebra wird streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom unterschieden. Ein Polynom ist ein Element des Polynomrings R[X]. Dieser entsteht, indem man den Koeffizientenring R um eine algebraisch freie Unbestimmte X erweitert. Seine Elemente sind endliche Linearkombinationen a₀ + a₁X + … + aₙXⁿ mit aᵢ ∈ R.

Jedes Polynom ist eindeutig durch seine Koeffizientenfolge (a₀, a₁, …, aₙ, 0, 0, …) bestimmt. Das Polynom ist dabei keine Funktion, sondern eine Folge beziehungsweise ein Element des Rings; X ist die Folge (0, 1, 0, 0, …). Durch Einsetzen eines Wertes kann daraus eine Polynomfunktion entstehen.

Konstruktion und Zusammenhang mit Funktionen

Der Polynomring kann als Menge der endlichen Folgen in R × R × R × … konstruiert werden. Für Folgen a = (aₙ) und b = (bₙ) gelten die gliedweise Addition

a + b = (aₙ + bₙ)ₙ

und die Faltungsmultiplikation

a · b = (∑ᵢ₌₀ⁿ aᵢbₙ₋ᵢ)ₙ = (∑ᵢ₊ⱼ₌ₙ aᵢbⱼ)ₙ.

Mit diesen Verknüpfungen ist R[X] ein kommutativer Ring. Identifiziert man X mit (0, 1, 0, 0, …), erhält man X² = (0, 0, 1, 0, …), X³ = (0, 0, 0, 1, …) und die vertraute Darstellung a₀ + a₁X + a₂X² + ….

Verschiedene Polynome können dieselbe Polynomfunktion erzeugen. Im Restklassenring ℤ/3ℤ = {0̄, 1̄, 2̄} induzieren beispielsweise f = X(X − 1̄)(X − 2̄) = X³ − 3̄X² + 2̄X = X³ − X und das Nullpolynom g = 0 beide die Nullfunktion. Über den reellen oder ganzen Zahlen und allgemein über jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom dagegen durch die von ihm induzierte Polynomfunktion bestimmt. Der Einsetzungshomomorphismus bildet Polynome auf Polynomfunktionen ab; sein Kern besteht aus den Polynomen, die die Nullfunktion induzieren.

Verallgemeinerungen

Polynome können auf mehrere Unbestimmte erweitert werden. Ein multivariates Polynom hat die Form

P(X₁, …, Xₙ) = ∑ aᵢ₁,…,ᵢₙ X₁ⁱ¹ ··· Xₙⁱⁿ.

Die Summe der Exponenten eines Monoms heißt Totalgrad. Haben alle nichtverschwindenden Monome denselben Totalgrad, ist das Polynom homogen; der größte Totalgrad eines nichtverschwindenden Monoms ist der Grad des Polynoms. Durch eine Monomordnung lassen sich die Monome anordnen und Begriffe wie der Leitkoeffizient verallgemeinern. Sind die Unbestimmten gegenüber Vertauschungen gleichberechtigt, heißt das Polynom symmetrisch. Die Polynome in X₁, …, Xₙ über R bilden den Polynomring R[X₁, …, Xₙ].

Die maximale Anzahl möglicher Monome eines bestimmten Grades k bei n Unbestimmten ist (n+k−1 über k), also \binom{n+k-1}{k}. Für alle Grade von 0 bis k beträgt die Anzahl \binom{n+k}{k}.

Bei unendlichen Summen f = ∑ᵢ₌₀^∞ aᵢXⁱ handelt es sich um formale Potenzreihen. Sind zusätzlich negative Exponenten erlaubt, entstehen Laurent-Polynome. Formale Laurent-Reihen haben die Form f = ∑ᵢ₌₋ᴺ^∞ aᵢXⁱ. Werden mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zugelassen, spricht man von einer Posynomialfunktion.