Quadratische Ergänzung

Grundidee und Einsatzgebiete

Die quadratische Ergänzung ist ein Umformungsverfahren für Terme, in denen eine Variable quadratisch vorkommt. Dabei wird ein passender Term addiert und zugleich wieder subtrahiert. So entsteht ein quadriertes Binom, also ein vollständiges Quadrat, und die erste oder zweite binomische Formel kann rückwärts angewendet werden.

Das Verfahren dient unter anderem dazu, quadratische Gleichungen zu lösen und eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform zu bringen. Damit lassen sich ihr Scheitelpunkt und somit ihr Extremwert bestimmen. In der analytischen Geometrie werden damit auch Gleichungen von Quadriken, also geometrischen Objekten mit quadratischen Termen in mehreren Variablen, auf eine Normalform umgeformt. Außerdem kann die Methode bei Integralen helfen.

Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form y = ax² + bx + c mit a ≠ 0 soll in die Scheitelpunktform y = a(x − xₛ)² + yₛ überführt werden. Zuerst wird a bei den x-Terms ausgeklammert:

y = a(x² + (b/a)x) + c.

Dann ergänzt man innerhalb der Klammer die „nahrhafte Null“ (b/2a)² − (b/2a)². Dadurch entsteht

y = a(x + b/(2a))² − b²/(4a) + c = a(x − (−b/(2a)))² + (c − b²/(4a)).

Der Scheitelpunkt lautet deshalb S(−b/(2a) | c − b²/(4a)).

Beispiel: Aus y = 2x² − 12x + 13 wird zunächst y = 2(x² − 6x) + 13. Mit 9 − 9 ergibt sich y = 2[(x − 3)² − 9] + 13 = 2(x − 3)² − 5. Die Scheitelpunktform ist also y = 2(x − 3)² − 5 und der Scheitelpunkt S(3 | −5).

Quadratische Gleichungen und Quadriken

Bei einer quadratischen Gleichung wird häufig zuerst normiert, sodass der Koeffizient vor x² gleich 1 ist. Für 2x² − 12x = 32 erhält man beispielsweise x² − 6x = 16. Ergänzt man auf beiden Seiten 9, entsteht

x² − 6x + 9 = 16 + 9,

also (x − 3)² = 25. Nach dem Wurzelziehen gilt |x − 3| = 5. Daher ist x − 3 = −5 oder x − 3 = 5; die Lösungsmenge lautet ℒ = {−2; 8}.

Auch eine Quadrik kann so vereinfacht werden. Für q(x,y) = x² + 4xy + 5y² − 6x − 14y + 9 ergibt die Ergänzung zunächst bezüglich x und danach bezüglich y:

q(x,y) = (x + 2y − 3)² + (y − 1)² − 1.

Mit der Substitution u = x + 2y − 3 und v = y − 1 wird q(x,y) = 0 zur Kreisgleichung u² + v² = 1. Die Quadrik ist damit auf affine Normalform gebracht.

Anwendung bei Integralen

Bei einem unbestimmten Integral kann die quadratische Ergänzung den Nenner in eine bekannte Form bringen. Es gilt

x² − 2x + 10 = x² − 2x + 1 − 1 + 10 = (x − 1)² + 9.

Daher wird

∫ 1/(x² − 2x + 10) dx = ∫ 1/((x − 1)² + 3²) dx = (1/3) arctan((x − 1)/3) + C.

Verwendet wird dabei die Stammfunktion ∫ 1/(x² + a²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C.

Bei dem bestimmten Parameterintegral I(t) = ∫₋∞^∞ (1/√(2π))e^(tx − x²/2) dx ergänzt man im Exponenten: tx − x²/2 = −(1/2)(x − t)² + t²/2. Somit ist

I(t) = e^(t²/2) ∫₋∞^∞ (1/√(2π))e^(−(x − t)²/2) dx = e^(t²/2).

Das letzte Integral hat den Wert 1, weil sein Integrand die Wahrscheinlichkeitsdichte der 𝒩(t,1)-Verteilung ist.