Achsensymmetrie

Grundidee und Definition

Achsensymmetrie bedeutet, dass eine Figur auf beiden Seiten einer gedachten Geraden spiegelbildlich angeordnet ist. Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn eine senkrechte Spiegelung an ihrer Symmetrieachse die Figur auf sich selbst abbildet.

Genauer: Es gibt eine Gerade g, sodass zu jedem Punkt P der Figur ein Punkt P' der Figur gehört; die Strecke [PP'] wird von g rechtwinklig halbiert. P und P' dürfen dabei identisch sein. Die Gerade g heißt Symmetrieachse.

Symmetrie bei ebenen und räumlichen Figuren

Bei zweidimensionalen Figuren ist Achsensymmetrie dasselbe wie Spiegelsymmetrie. Im dreidimensionalen Raum entspricht Achsensymmetrie dagegen einer Drehsymmetrie um 180°. Spiegelsymmetrie im Raum bezieht sich auf eine Symmetrieebene.

Beispiele: Ein Quadrat besitzt genau vier Symmetrieachsen, ein Rechteck zwei. Ein gleichschenkliges Trapez, ein Drachenviereck und ein Antiparallelogramm haben mindestens eine Symmetrieachse. Ein Kreis hat unendlich viele, weil jeder Durchmesser eine Symmetrieachse ist. Auch eine Gerade besitzt unendlich viele Symmetrieachsen: jede zu ihr senkrechte Gerade sowie die Gerade selbst.

Eine Kugel ist achsensymmetrisch zu jeder Geraden durch ihren Mittelpunkt und außerdem ebenensymmetrisch zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt. Auch ein Quader ist achsensymmetrisch.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen

Für den Graphen einer Funktion f: D → ℝ liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor, wenn für alle x aus dem Definitionsbereich D gilt: f(-x) = f(x). Solche Funktionen heißen gerade Funktionen. Die Funktionswerte zu x und -x müssen also gleich sein.

Für eine zur y-Achse parallele Symmetrieachse x = a prüft man für festes a ∈ ℝ: f(a-x) = f(a+x). Äquivalent dazu ist die Bedingung f(2a-x) = f(x), sofern die benötigten Argumente im Definitionsbereich liegen.

Bei jeder quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c ist der Graph achsensymmetrisch zur vertikalen Geraden durch den Scheitelpunkt S = (xₛ, yₛ). Das wird in der Scheitelpunktform f(x) = a(x-xₛ)² + yₛ deutlich.

Typische Funktionsbeispiele und Körper

Für f(x) = x² - 1 gilt f(-x) = (-x)² - 1 = x² - 1 = f(x). Die Parabel ist daher zur y-Achse symmetrisch.

Die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 ist nicht zur y-Achse symmetrisch, aber zur Geraden x = 2: f(4-x) = f(x).

Rotationskörper sind dreidimensionale achsensymmetrische Körper: Eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine feste Achse bildet den Körper auf sich selbst ab. Diese Achse ist die Symmetrieachse; der Zylinder ist das einfachste Beispiel. Ebenensymmetrie liegt vor, wenn eine Spiegelung an einer Ebene eine Figur auf sich selbst abbildet.