Binomische Formeln

Grundidee und drei Formeln

Die binomischen Formeln sind grundlegende Formeln der elementaren Algebra. Sie dienen dazu, Produkte aus Binomen umzuformen. Ein Binom ist ein Term mit zwei Gliedern, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind, zum Beispiel a+b, 13-7 oder 2+x. Die Schreibweise x^2 bedeutet x\cdot x, also „x mit sich selbst multipliziert“.

In der Schulmathematik werden vor allem drei binomische Formeln verwendet:

• (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, die erste binomische Formel.
• (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, die zweite binomische Formel.
• (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2, die dritte binomische Formel.

Die Terme a^2 und b^2 heißen quadratische Glieder; \pm 2ab heißt gemischtes Glied. Die Kurzschreibweise 2ab bedeutet 2\cdot a\cdot b. Ein häufiger Fehler ist, das gemischte Glied wegzulassen, also fälschlich (a+b)^2=a^2+b^2 zu rechnen. Zum Beispiel gilt (1+3)^2=4^2=16, aber 1^2+3^2=1+9=10.

Herleitung und Bedeutung als Identitäten

Die binomischen Formeln folgen direkt aus dem Distributivgesetz. Dieses besagt für Summen: Jedes Glied der einen Klammer wird mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. Allgemein gilt

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

Daraus erhält man zum Beispiel:

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2.

Ebenso folgt (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 und (a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Die zweite Formel kann auch aus der ersten entstehen, wenn man b durch -b ersetzt: (a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2. Wegen des Kommutativgesetzes spielt bei der dritten Formel die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle: (a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)=a^2-b^2.

Die Formeln sind Identitäten. Das bedeutet: Die linke und rechte Seite sind für jede erlaubte Wahl der Zahlen oder Unbekannten gleich. Zur Betonung kann man auch \equiv schreiben, etwa (a+b)^2\equiv a^2+2ab+b^2. Die Buchstaben a und b sind nur Platzhalter; dieselben Formeln gelten auch mit anderen Bezeichnungen wie x und y.

Geometrische Vorstellung

Die Formeln lassen sich mit Flächen gut veranschaulichen. Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b ist ab.

Bei der ersten binomischen Formel betrachtet man ein Quadrat mit Seitenlänge a+b. Es besteht aus einem Quadrat der Fläche a^2, einem Quadrat der Fläche b^2 und zwei Rechtecken mit jeweils Fläche ab. Zusammen ergibt das (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

Bei der zweiten Formel beginnt man mit einem Quadrat der Fläche a^2. Um ein Quadrat mit Seitenlänge a-b zu erhalten, werden zwei Rechtecke der Fläche ab abgezogen. Dabei wird das kleine Quadrat b^2 doppelt entfernt, daher muss es einmal wieder addiert werden. So entsteht (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

Bei der dritten Formel kann man von a^2-b^2 ausgehen: Aus einem Quadrat der Fläche a^2 wird ein kleineres Quadrat der Fläche b^2 entfernt. Die verbleibenden Teile lassen sich zu einem Rechteck mit Seitenlängen a+b und a-b zusammensetzen. Daher gilt a^2-b^2=(a+b)(a-b). Diese geometrischen Bilder funktionieren unmittelbar vor allem für a\geq b\geq 0; algebraisch gelten die Formeln aber auch für negative Zahlen.

Typische Anwendungen

Die binomischen Formeln helfen beim Ausmultiplizieren, Faktorisieren und Vereinfachen von Termen. Beim Kopfrechnen kann man zum Beispiel Quadrate günstiger berechnen:

37^2=(30+7)^2=30^2+2\cdot30\cdot7+7^2=900+420+49=1369.

Auch Produkte nahe beieinanderliegender Zahlen lassen sich mit der dritten Formel berechnen:

29\cdot31=(30-1)(30+1)=30^2-1^2=899.

In der Bruchrechnung helfen die Formeln beim Kürzen oder beim Rationalisieren von Nennern. Ein Beispiel ist \frac{2}{\sqrt5+\sqrt2}, das durch Erweitern mit \sqrt5-\sqrt2 mithilfe der dritten Formel zu \frac{2}{3}(\sqrt5-\sqrt2) umgeformt wird.

Bei quadratischen Gleichungen sind die Formeln wichtig für die quadratische Ergänzung. Aus x^2+2x=24 wird durch Hinzufügen von 1-1: (x+1)^2-1=24, also (x+1)^2=25. Daraus folgt x+1=\pm5 und die Lösungsmenge \{-6,4\}; im Zimmerbeispiel ist die sinnvolle Breite x=4.

Weitere Anwendungen im Artikel betreffen Näherungen wie \frac1{1-x}\approx1+x für kleine x, den Beweis des Satzes des Pythagoras, die Hardy-Weinberg-Formel 1=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, Wahrscheinlichkeiten bei zwei unabhängigen Versuchen, Varianzformeln in der Statistik, Differentialrechnung wie die Herleitung von (x^2)'=2x, komplexe Zahlen, Trigonometrie, Faktorisierungsmethoden und Zahlentheorie.

Geschichte und Verallgemeinerungen

Die binomischen Formeln waren den Babyloniern bereits etwa 1900 v. Chr. bekannt; nach heutigem Forschungsstand gehörten die erste und dritte Formel zwischen 1900 und 1600 v. Chr. zu wichtigen Inhalten der Algebra in Mesopotamien. Euklid von Alexandria bewies die erste binomische Formel im 3. Jahrhundert v. Chr. geometrisch in seinen Elementen, Buch II, Proposition 4. Auch die Bezeichnung „Binom“ geht auf Euklid zurück. Eine Form der dritten Formel behandelte Euklid in Buch II, Proposition 5.

In Indien gaben Aryabhata und Brahmagupta im 6. und 7. Jahrhundert die Fälle (a+b)^2 und (a+b)^3 an. Die kubische binomische Formel lautet (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. Im Kalifat der Abbasiden arbeiteten Mathematiker wie al-Chwarizmi, al-Karadschi, as-Samaw’al und Omar Chayyām an Verfahren, die mit quadratischen Gleichungen, Binomialkoeffizienten und dem binomischen Lehrsatz verbunden sind. Blaise Pascal untersuchte 1654 das nach ihm benannte Pascalsche Dreieck und gab einen frühen Induktionsbeweis für die Expansion von (a+b)^n.

Die wichtigste Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz:

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^k für n\in\mathbb N.

Dabei sind {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} die Binomialkoeffizienten. Die erste und zweite binomische Formel sind Spezialfälle für n=2. Für mehrgliedrige Ausdrücke führt die Verallgemeinerung zum Multinomialtheorem; zum Beispiel gilt (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc. In allgemeinen Ringen muss man beachten, ob die Multiplikation kommutativ ist. Ohne Kommutativität gilt etwa (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2, weil ab und ba nicht gleich sein müssen.

Lernen und häufige Fehler

In der Schulalgebra sind die binomischen Formeln wichtige Merkformeln. Sie erleichtern das Ausmultiplizieren, das Zusammenfassen von Klammerausdrücken und besonders das Faktorisieren von Termen. In deutschen Realschulen und Gymnasien werden sie gewöhnlich spätestens ab der 8. Klasse behandelt; in der Schweiz in der 7. bis 8. Klasse und in Österreich in der 3. Klasse der Sekundarstufe I. Danach bleiben sie in vielen Themen wichtig, etwa beim Satz des Pythagoras, bei Termumformungen und quadratischen Gleichungen.

Der wichtigste Fehler ist die falsche Gleichsetzung von „Quadrat einer Summe“ und „Summe der Quadrate“: (x+y)^2=x^2+y^2 ist keine gültige Identität. Richtig ist (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. Bei einem Term wie (2xy+3x)^2 darf das gemischte Glied nicht fehlen; es ist 2\cdot2xy\cdot3x=12x^2y.

Auch beim Wurzelziehen aus Summen entsteht ein ähnlicher Fehler. Im Allgemeinen gilt nicht \sqrt{x^2+y^2}=x+y. Richtig ist \sqrt{x^2+2xy+y^2}=\sqrt{(x+y)^2}=|x+y|, weil die Quadratwurzel als positive Wurzel verstanden wird. Zur Kontrolle kann man konkrete Zahlen einsetzen: (3+1)^2=16, aber 3^2+1^2=10. Solche Zahlenproben helfen, falsche Identitäten schnell zu erkennen.