Metrischer Raum – einfach erklärt

Begriff und Definition

Eine Metrik oder Abstandsfunktion beschreibt mathematisch den Abstand zwischen je zwei Elementen einer Menge. Die Elemente heißen dabei auch Punkte, die Menge heißt Raum. Ein metrischer Raum ist eine Menge, auf der eine solche Metrik definiert ist. Auf derselben Menge können mehrere, auch nicht äquivalente Metriken definiert werden.

Für eine Menge X heißt eine Abbildung d: X × X → ℝ eine Metrik, wenn für alle x, y, z ∈ X drei Bedingungen erfüllt sind:

Positive Definitheit: d(x,y) ≥ 0 und d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y gilt. Abstände sind also nie negativ, und nur ein Punkt hat von sich selbst den Abstand 0.
Symmetrie: d(x,y) = d(y,x). Der Abstand von x nach y ist derselbe wie von y nach x.
Dreiecksungleichung: d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y). Ein direkter Abstand ist höchstens so groß wie ein Umweg über einen dritten Punkt z.

Das Paar (X,d) heißt metrischer Raum. Manche Autoren verlangen zusätzlich, dass X nicht leer ist. Ist die verwendete Metrik aus dem Zusammenhang eindeutig, bezeichnet man häufig bereits X als metrischen Raum. Eine Isometrie ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen, die alle Abstände erhält.

Beschränktheit und Durchmesser

Eine Teilmenge A ⊂ X eines metrischen Raums heißt beschränkt, wenn die Menge ihrer gegenseitigen Abstände eine endliche obere Schranke besitzt. Formal muss

sup{d(x,y) : x,y ∈ A}

endlich sein. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke dieser Abstände. Für eine beschränkte Menge ist ihr Durchmesser definiert durch

diam(A) := sup{d(x,y) : x,y ∈ A}.

Der Durchmesser gibt somit den größtmöglichen Abstand innerhalb der Menge an, wobei dieser Wert nicht unbedingt von einem konkreten Punktepaar angenommen werden muss.

Abwandlungen des Metrikbegriffs

Durch Abschwächen, Weglassen oder Verschärfen der drei Metrikbedingungen entstehen verwandte Strukturen. Ihre Bezeichnungen sind nicht in allen mathematischen Gebieten einheitlich; insbesondere wird „Semimetrik“ in Funktionalanalysis und Topologie unterschiedlich verwendet.

Ultrametrik: Die Dreiecksungleichung wird zur stärkeren Bedingung d(x,y) ≤ max{d(x,z), d(z,y)} verschärft. Der Abstand zwischen x und y darf also nicht größer als der längere der beiden Abstände über z sein.
Pseudometrik: Auf die Folgerung d(x,y) = 0 ⇒ x = y wird verzichtet. Verschiedene Punkte dürfen daher den Abstand 0 haben. Alle Abstände bleiben nichtnegativ; die Pseudometrik ist positiv semidefinit. In der Funktionalanalysis heißen solche Funktionen auch Halbmetrik oder Semimetrik.
Quasimetrik: Die Symmetrie wird weggelassen, sodass d(x,y) und d(y,x) verschieden sein können. Aus einer Quasimetrik d′ lässt sich durch d(x,y) := ½(d′(x,y) + d′(y,x)) eine Metrik erzeugen.
Pseudoquasimetrik: Sowohl die Trennung verschiedener Punkte durch einen positiven Abstand als auch die Symmetrie entfallen. Ein solcher Raum entspricht einer kleinen (ℝ₀⁺, ≥, +, 0)-angereicherten Kategorie. Werden außerdem Abstände ∞ zugelassen, entstehen Lawvere metric spaces.
Nicht-archimedische Metriken: Hier wird die Dreiecksungleichung abgeschwächt oder verschärft. Beispiele sind d(x,y) ≤ K(d(x,z) + d(z,y)) mit K > 1 sowie die Ultrametrik. In der Topologie bezeichnet man Metriken ohne Dreiecksungleichung manchmal als Semimetriken.
Prämetrik: Gefordert werden nur Nichtnegativität und die Bedingung, dass der Abstand genau bei gleichen Punkten 0 ist. Ein Beispiel auf ℝ ist d(x,y) = 1 für x > y und d(x,y) = |x−y| in allen anderen Fällen.

Wichtige Beispiele

Jede Norm ‖·‖ auf einem Vektorraum V erzeugt durch d(x,y) := ‖x−y‖ eine Metrik. Daher sind normierte Vektorräume und ihre Teilmengen metrische Räume; dies gilt insbesondere für Innenprodukträume, Banachräume und Hilberträume. In einem affinen Raum M über einem normierten Vektorraum wird entsprechend d(P,Q) := ‖PQ⃗‖ gesetzt, also die Norm des Verbindungsvektors.

Eine aus einer p-Norm abgeleitete Metrik heißt Minkowski-Metrik. Wichtige Fälle sind die Manhattan-Metrik für p = 1, die euklidische Metrik für p = 2 und die Maximum-Metrik für p = ∞. Auf den reellen oder komplexen Zahlen ergibt der absolute Betrag die Betragsmetrik d(x,y) := |x−y|. Im n-dimensionalen euklidischen Raum lautet der Abstand d(x,y) := √((x₁−y₁)² + … + (xₙ−yₙ)²).

Gelegentlich heißt eine Metrik d(x,y) := ρ(x−y) Fréchet-Metrik, wenn ρ die meisten Eigenschaften einer Norm besitzt, aber nicht homogen ist. Für affine Räume gilt entsprechend d(P,Q) := ρ(PQ⃗). Ein Raum mit einer Fréchet-Metrik ist ein Fréchet-Raum, doch nicht jeder Fréchet-Raum besitzt eine Fréchet-Metrik.

Daneben gibt es Metriken, die nicht durch Normen entstehen:

Auf jeder Menge ist die gleichmäßig diskrete Metrik durch d(x,y) = 0 für x = y und d(x,y) = 1 sonst definiert. Sie ist sogar eine Ultrametrik und erzeugt die diskrete Topologie.
Auf ℝ ist δ(x,y) := |arctan(x)−arctan(y)| eine Metrik. Bezüglich δ ist ℝ nicht vollständig: Die Folge (n)ₙ∈ℕ ist eine δ-Cauchy-Folge, konvergiert aber nicht in ℝ. Die erzeugte Topologie stimmt mit der Standardtopologie überein, die induzierten uniformen Strukturen sind jedoch verschieden.
Bei der natürlichen Metrik auf einer Kugeloberfläche ist ein Großkreis die kürzeste Verbindung, die sogenannte Geodäte, zwischen zwei Punkten.
Die französische Eisenbahnmetrik verwendet einen ausgezeichneten Punkt P („Paris“). Liegt die Verbindungsgerade zweier verschiedener Punkte durch P, gilt ihr euklidischer Abstand. Andernfalls ist ihr Abstand die Summe ihrer beiden Abstände von P.
Die Hausdorff-Metrik misst Abstände zwischen Teilmengen eines metrischen Raums und greift dazu auf die Abstände zwischen dessen Elementen zurück.
Der Hamming-Abstand misst die Unterschiedlichkeit gleich langer Zeichenketten in einem Coderaum.

Als weiteres, im Allgemeinen nicht von einer Norm erzeugtes Beispiel wird die riemannsche Metrik genannt. Der Artikel führt außerdem die uneigentliche Metrik des Minkowski-Raums ℝ × ℝ³ aus der speziellen Relativitätstheorie und ihre von der Materieverteilung abhängige Verallgemeinerung in der allgemeinen Relativitätstheorie an.

Topologie und strukturelle Einordnung

Die offenen Kugeln eines metrischen Raums bilden eine Basis einer Topologie, der von der Metrik induzierten Topologie. Damit legt eine Metrik nicht nur Abstände fest, sondern bestimmt auch Begriffe wie offene Mengen, Umgebungen, Stetigkeit und Konvergenz.

Zwei metrische Räume (M₁,d₁) und (M₂,d₂) heißen homöomorph oder topologisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Homöomorphismus existiert, also eine in beiden Richtungen stetige Abbildung. Sie heißen isometrisch, wenn es eine bijektive, abstandserhaltende Isometrie gibt; isometrische Objekte im euklidischen Raum sind kongruent. Gilt M₁ = M₂, aber die Räume sind nicht isometrisch, werden die Metriken (M₁,d₁) und (M₁,d₂) als nicht äquivalent bezeichnet. Gibt es eine Quasi-Isometrie, heißen die Räume quasi-isometrisch.

In der Hierarchie mathematischer Strukturen induziert ein Skalarprodukt eine Norm, eine Norm eine Metrik, eine Metrik eine uniforme Struktur und diese eine Topologie. Entsprechend ist ein euklidischer Raum ein normierter Raum, dieser ein metrischer Raum, dieser ein uniformer Raum und dieser wiederum ein topologischer Raum. Metriken verleihen einem Raum eine globale Struktur, die sich etwa in der Kongruenz von Figuren zeigt, und eine lokale Struktur durch kleine Abstände. Unter zusätzlichen Voraussetzungen ermöglicht die lokale Struktur Differentialoperationen.

Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum und zugleich ein Hausdorff-Raum. Ein topologischer Raum (X,T) heißt metrisierbar, wenn auf X eine Metrik d existiert, welche genau die Topologie T induziert; gleichbedeutend ist, dass der Raum zu einem metrischen Raum homöomorph ist.

Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum. Wird seine Norm durch ein Skalarprodukt induziert, heißt er Hilbertraum. Auf allgemeinen topologischen Räumen lassen sich Cauchy-Folgen und Vollständigkeit ohne zusätzliche Struktur nicht definieren. Bei vorhandener uniformer Struktur können stattdessen Cauchy-Filter und eine Vervollständigung betrachtet werden.

Metrische Räume wurden 1906 von Maurice Fréchet in „Sur quelques points du calcul fonctionnel“ erstmals verwendet; Felix Hausdorff prägte die Bezeichnung „metrischer Raum“.