Kegelschnitt

Grundtypen und geometrische Definition

Kegelschnitte sind Kurven, die entstehen, wenn eine Ebene die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels schneidet. Die wichtigsten regulären oder nicht ausgearteten Kegelschnitte sind Ellipse, Parabel und Hyperbel; der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse. Geht die Schnittebene durch die Spitze eines Doppelkegels, entstehen ausgeartete Kegelschnitte.

Für die Einteilung vergleicht man den halben Öffnungswinkel α des Doppelkegels mit dem Schnittwinkel β zwischen Ebene und Kegelachse:

β > α: Ellipse. Sie ist geschlossen, besitzt zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen und ein Symmetriezentrum. Für β = 90° entsteht ein Kreis.
β = α: Parabel. Sie reicht ins Unendliche, besitzt eine Symmetrieachse, aber kein Symmetriezentrum.
β < α: Hyperbel. Sie besteht aus zwei Hyperbelästen, die ins Unendliche reichen, besitzt zwei senkrechte Symmetrieachsen, ein Symmetriezentrum und Asymptoten.

Bei einem Schnitt durch die Kegelspitze sind ein sich schneidendes Geradenpaar, ein paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt oder die leere Menge möglich. In der projektiven Geometrie gelten parallele Geraden als Geraden, die sich in einem unendlich fernen Punkt schneiden; dadurch kann ein Zylinder als Spezialfall eines Kegels betrachtet werden.

Ortskurven, Normalformen und Exzentrizität

Ellipse, Parabel und Hyperbel können ohne Kegel als Ortskurven definiert werden, also als Mengen von Punkten mit bestimmten Abstandsbedingungen. Bei einer Ellipse ist die Summe der Abstände eines Punktes P zu den Brennpunkten F₁ und F₂ konstant:

|PF₁| + |PF₂| = 2a.

Bei einer Hyperbel ist die absolute Differenz der Abstände konstant:

||PF₂| − |PF₁|| = 2a.

Dabei ist a der Abstand eines Hauptscheitels vom Mittelpunkt. Die Herleitung aus dem Kegelschnitt erfolgt häufig mit Dandelinschen Kugeln, die sowohl den Kegel als auch die Schnittebene berühren.

Eine einheitliche Definition verwendet einen Brennpunkt F und eine Leitlinie l. Für jeden Punkt P gilt:

|PF| / |Pl| = ε.

ε heißt numerische Exzentrizität. Für 0 < ε < 1 entsteht eine Ellipse, für ε = 1 eine Parabel und für ε > 1 eine Hyperbel. Der Kreis entspricht als Grenzfall ε = 0 mit einer Leitlinie im Unendlichen.

In geeigneten kartesischen Koordinaten lauten wichtige Normalformen:

Ellipse: x²/a² + y²/b² = 1. Für a = b = r ist sie ein Kreis mit Radius r.
Hyperbel: x²/a² − y²/b² = 1. Für a = b entsteht eine gleichseitige Hyperbel mit senkrechten Asymptoten.
Parabel: x = cy² oder y = cx², wobei c = 1/(4f) und f der Abstand zwischen Scheitel und Brennpunkt ist.

Eine gemeinsame Scheitelgleichung lautet y² = 2px + (ε² − 1)x² mit p > 0 und ε ≥ 0. Dabei ist 2p die Weite am Brennpunkt, p der Halbparameter und zugleich der Krümmungskreisradius im Scheitel. Für ε = 0, 0 < ε < 1, ε = 1 und ε > 1 erhält man nacheinander Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. In Polarkoordinaten gilt mit dem Brennpunkt als Pol die Gleichung r = p/(1 − ε cos φ). Für φ = π/2 folgt r = p.

Allgemeine Gleichung und rechnerische Bestimmung

Nach Verschiebungen und Drehungen des Koordinatensystems haben alle Kegelschnitte, auch ausgeartete, die allgemeine Gleichung

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Sie ist eine Gleichung 2. Grades mit 2 Variablen, sofern mindestens einer der Koeffizienten A, B oder C von 0 verschieden ist.

Zur Bestimmung der Kegelschnittart verwendet man die Invarianten

Δ = det((A, B/2, D/2; B/2, C, E/2; D/2, E/2, F)), δ = det((A, B/2; B/2, C)) = AC − B²/4, S = A + C.

Diese Werte ändern sich bei Verschiebung oder Drehung des Koordinatensystems nicht. Es gilt:

Ellipse genau dann, wenn δ > 0, Δ ≠ 0 und Δ·S < 0.
Hyperbel genau dann, wenn δ < 0 und Δ ≠ 0.
Parabel genau dann, wenn δ = 0 und Δ ≠ 0.
Δ = 0 kennzeichnet immer einen ausgearteten Kegelschnitt.

Die Hauptachsentransformation besteht aus einer Drehung zur Beseitigung des Terms Bxy und einer Verschiebung zur Beseitigung der linearen Terme. Für B ≠ 0 gilt beim Drehwinkel α: tan(2α) = B/(A − C); bei A = C wird α = 45° gesetzt. Durch quadratische Ergänzung entstehen beispielsweise die Verschiebungen x′ = x + D/(2A) und y′ = y + E/(2C).

Danach erhält man entweder ux² + vy² + w = 0 oder ux² + vy + w = 0 beziehungsweise uy² + vx + w = 0. Im ersten Fall sind Ellipse, Hyperbel, sich schneidende Geraden, Punkt oder leere Menge möglich; im zweiten Fall Parabel, parallele Geraden, Gerade oder leere Menge.

Ein regulärer Kegelschnitt ist im Allgemeinen durch 5 Punkte eindeutig bestimmt, sofern keine 3 Punkte auf einer Geraden liegen. Die sechs Koeffizienten sind nur bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt. Ein Kreis ist bereits durch 3 nicht kollineare Punkte eindeutig bestimmt.

Beispiel: Der Kegelschnitt durch (1,0), (−1,0), (0,1), (−1,−1) und (1,1) besitzt die Gleichung x² − xy + y² − 1 = 0. Nach einer Drehung um 45° wird daraus ½x² + 3/2y² − 1 = 0; es handelt sich um eine Ellipse mit Halbachsen a = √2 und b = √(2/3).

Spezielle Schnitte, Kegelschnittbüschel und projektive Sicht

Beim Einheitskegel x² + y² = z² und einer Ebene ax + cz = d erhält man je nach Lage der Ebene die verschiedenen Kegelschnittarten. Für c = 0 entsteht bei d ≠ 0 eine Hyperbel und bei d = 0 ein sich kreuzendes Geradenpaar. Für c ≠ 0 und d ≠ 0 gilt nach dem Eliminieren von z:

(c² − a²)x² + 2adx + c²y² = d².

Dabei entsteht für c² > a² eine Ellipse, für c² = a² eine Parabel und für c² < a² eine Hyperbel. Geht die Ebene durch die Spitze, entstehen bei c² > a² ein Punkt, bei c² = a² eine Gerade und bei c² < a² ein gekreuztes Geradenpaar.

Aus zwei Kegelschnittgleichungen f₁(x,y) = 0 und f₂(x,y) = 0 entsteht durch eine Linearkombination ein Kegelschnittbüschel:

(1 − μ)f₁(x,y) − μf₂(x,y) = 0.

Proportionale Koeffizientenpaare beschreiben denselben Kegelschnitt. Für die Kreise (x − 2)² + y² − 1 = 0 und (x + 2)² + y² − 1 = 0 entsteht ein Kreisbüschel; für μ = 1/2 bleibt die Gerade x = 0. Kegelschnittbüschel können auch durch vier Punkte oder durch zwei Punkte mit vorgegebenen Tangenten bestimmt werden.

Affine Abbildungen führen jede Ellipse auf den Einheitskreis, jede Parabel auf die Normalparabel und jede Hyperbel auf die Einheitshyperbel zurück. Affin lassen sich die drei Typen jedoch nicht ineinander überführen. In der projektiven Ebene sind alle regulären projektiven Kegelschnitte äquivalent. Beispielsweise bildet (x,y) → (x/(1+y), (1−y)/(1+y)) den Einheitskreis auf y = x² ab; (x,y) → (1/x, y/x) bildet die Parabel y = x² auf die Hyperbel y = 1/x ab.

Verallgemeinerungen und Anwendungen

Kegelschnitte sind zweidimensionale Spezialfälle von Quadriken. Quadriken sind Punktmengen im n-dimensionalen reellen Koordinatenraum ℝⁿ, die durch Gleichungen 2. Grades mit n Variablen beschrieben werden. Im dreidimensionalen Raum gehören Ellipsoide, ein- oder zweischalige Hyperboloide sowie elliptische und hyperbolische Paraboloide dazu. Durch Rotation von Ellipse, Parabel oder Hyperbel um eine Symmetrieachse entstehen Drehquadriken: Rotationsellipsoid, Rotationsparaboloid und Rotationshyperboloid. Der gerade Kreiskegel und der gerade Kreiszylinder sind ausgeartete Quadriken.

Kegelschnitte können auch über beliebigen Körpern definiert werden; viele Inzidenz- und Symmetrieeigenschaften bleiben erhalten. In den Benz-Ebenen spielen sie ebenfalls eine wichtige Rolle: Möbius-Ebenen behandeln Kreise, Laguerre-Ebenen Parabeln und Minkowski-Ebenen Hyperbeln.

Anwendungen sind unter anderem:

Die Bahnen von Himmelskörpern im Zweikörperproblem, die Keplerbahnen, sind Kegelschnitte.
Die Tagesbahn der Sonne auf dem Zifferblatt einer Sonnenuhr ist meist eine Hyperbel.
Im Bauwesen werden Rotationsellipsoide, Paraboloide und Hyperboloide für Dächer, Säulen und andere Bauteile verwendet.
Reflektoren in Scheinwerfern und Teleskopen besitzen die Form von Rotationsellipsoiden, Paraboloiden oder Hyperboloiden.
In der Darstellenden Geometrie erscheinen Kegelschnitte als Bilder von Kreisen bei Parallel- und Zentralprojektionen.

Historische Entwicklung

Bereits in der Antike wurden Kegelschnitte untersucht. Menaichmos gab vermutlich um 320 v. Chr. eine frühe Definition im Zusammenhang mit der Würfelverdoppelung. Seine Einteilung beruhte auf dem Öffnungswinkel eines Kegels; dabei entstand allerdings nur ein Hyperbelast. Aristaios von Samos untersuchte etwa 330 v. Chr. Schnittfiguren von Kegeln und Ebenen. Euklid soll um 300 v. Chr. vier verlorene Bücher über Kegelschnitte verfasst haben. Archimedes (gestorben 212 v. Chr.) beschäftigte sich mit Flächen- und Volumenberechnungen, unter anderem mit der Fläche zwischen einer Parabel und einer Parabelsehne.

Apollonios von Perge (gestorben etwa 190 v. Chr.) fasste das Wissen in seinem achtbändigen Werk Konika zusammen und erweiterte es wesentlich. Er untersuchte unter anderem die Erzeugung der Kegelschnitte und ihre Brennpunkte und führte die Bezeichnungen Ellipse, Parabel und Hyperbel in der heute vertrauten Bedeutung ein. Pappos von Alexandria (gestorben etwa 350 n. Chr.) wird die Erläuterung der Begriffe Brennpunkt und Leitlinie zugeschrieben.

Das Werk des Apollonios wurde ins Arabische übersetzt. Omar Chayyām entwickelte eine geometrische Methode zur Lösung kubischer Gleichungen mit Kegelschnitten; Abu al-Jud hatte bereits ein Jahrhundert früher Kegelschnitte zur Lösung quartischer und kubischer Gleichungen verwendet, jedoch nicht alle Fälle erfasst. Al-Kuhi beschrieb im Jahr 1000 ein Gerät zum Zeichnen von Kegelschnitten.

In Europa erkannte Johannes Kepler anhand der Marsbeobachtungen, dass sich Planeten auf Ellipsen bewegen und die Sonne in einem Brennpunkt steht. Gérard Desargues und Blaise Pascal entwickelten eine frühe projektive Theorie. René Descartes und Pierre de Fermat nutzten die analytische Geometrie. John Wallis definierte 1655 Kegelschnitte als Lösungen von Gleichungen 2. Grades. Johan de Witts Elementa curvarum linearum gilt als erstes Lehrbuch über Kegelschnitte; dort wurde auch der Begriff Direktrix für Leitlinie eingeführt.