Ganze Zahl

Grundidee und Einordnung

Die ganzen Zahlen, geschrieben als ℤ, erweitern die natürlichen Zahlen um 0 und die negativen Zahlen. Sie umfassen die Folge

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Damit enthalten sie alle natürlichen Zahlen ℕ₀ sowie deren additive Inverse, also zu jeder Zahl n die Zahl −n mit n + (−n) = 0. Die ganzen Zahlen sind Teil der rationalen Zahlen ℚ, diese wiederum Teil der reellen Zahlen ℝ. Umgekehrt enthalten die ganzen Zahlen die natürlichen Zahlen ℕ.

Das Symbol ℤ ist ein Z mit Doppelstrich; das „Z“ steht für „Zahlen“. Der Unicode des Zeichens ist U+2124. In der Informatik werden ganze Zahlen üblicherweise durch den Datentyp Integer dargestellt. Im Mathematikunterricht werden sie meist in der fünften bis siebten Klasse eingeführt.

Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.

Rechnen mit ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen bilden bezüglich Addition und Multiplikation einen Ring. Das bedeutet: Ganze Zahlen können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden, und das Ergebnis ist wieder eine ganze Zahl.

Für Addition und Multiplikation gelten wichtige Rechengesetze:

• Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Zahlen spielt bei Addition und Multiplikation keine Rolle.
• Assoziativgesetz: Die Klammerung spielt bei Addition und Multiplikation keine Rolle.
• Distributivgesetze: Multiplikation verteilt sich über Addition und Subtraktion.

Ein wichtiger Grund für die Einführung ganzer Zahlen ist die Subtraktion. Lineare Gleichungen der Form

a+x=b

mit natürlichen Zahlen a und b sind in den ganzen Zahlen immer lösbar, nämlich durch

x=b-a.

Beschränkt man x dagegen auf natürliche Zahlen, ist nicht jede solche Gleichung lösbar.

Abstrakt heißen die ganzen Zahlen ein kommutativer unitärer Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von n ist -n, und das neutrale Element der Multiplikation ist 1.

Ordnung, Vorzeichen und Betrag

Die ganzen Zahlen sind total geordnet. Das heißt, je zwei ganze Zahlen lassen sich miteinander vergleichen. Die natürliche Reihenfolge lautet:

\cdots<-2<-1<0<1<2<\cdots

Man unterscheidet:

• positive ganze Zahlen: \{1,2,3,\ldots\}=\mathbb{N}
• nichtnegative ganze Zahlen: \{0,1,2,3,\ldots\}=\mathbb{N}_0
• negative ganze Zahlen: \{\ldots,-2,-1\}=-\mathbb{N}
• nichtpositive ganze Zahlen: \{\ldots,-2,-1,0\}=-\mathbb{N}_0

Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ.

Die Ordnung passt zu den Rechenoperationen:

• Ist a<b und c\leq d, dann gilt a+c<b+d.
• Ist a<b und 0<c, dann gilt ac<bc.

Mit der Ordnung definiert man die Vorzeichenfunktion \operatorname{sgn}(x):

\operatorname{sgn}(x)=-1 für x<0, \operatorname{sgn}(x)=0 für x=0, \operatorname{sgn}(x)=1 für x>0.

Außerdem definiert man die Betragsfunktion:

|x|=x für x\geq 0, |x|=-x für x<0.

Vorzeichen und Betrag hängen durch die Formel

x=\operatorname{sgn}(x)\,|x|

zusammen.

Mächtigkeit und Körperfrage

Die Menge der ganzen Zahlen ist abzählbar, ebenso wie die Menge der natürlichen Zahlen. Abzählbar bedeutet, dass man die Elemente grundsätzlich in eine Folge bringen kann.

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper. Ein Körper ist ein Zahlbereich, in dem man neben Addition, Subtraktion und Multiplikation auch durch jede von 0 verschiedene Zahl teilen kann, ohne den Zahlbereich zu verlassen. Bei den ganzen Zahlen ist das nicht der Fall: Die Gleichung

2x=1

ist in \mathbb{Z} nicht lösbar. Der kleinste Körper, der \mathbb{Z} enthält, sind die rationalen Zahlen \mathbb{Q}.

Division mit Rest und Primfaktoren

Eine zentrale Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Division mit Rest. Sie ermöglicht es, zu zwei ganzen Zahlen immer einen größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen.

Dafür verwendet man den Euklidischen Algorithmus. Wegen dieser Eigenschaft wird \mathbb{Z} in der Mathematik als euklidischer Ring bezeichnet.

Aus dieser Struktur folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in \mathbb{Z}: Ganze Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in Primfaktoren zerlegen, wenn man die üblichen Einheiten und Reihenfolgen berücksichtigt.

Konstruktion aus natürlichen Zahlen

Die ganzen Zahlen lassen sich aus den natürlichen Zahlen konstruieren. Dazu betrachtet man die Menge aller Paare natürlicher Zahlen

\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0.

Auf diesen Paaren definiert man eine Äquivalenzrelation:

(a,b)\sim(c,d), falls a+d=c+b.

Die Idee ist, dass ein Paar (a,b) für die Differenz a-b steht. Verschiedene Paare können also dieselbe ganze Zahl darstellen.

Addition und Multiplikation werden auf den Paaren so definiert:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)\cdot(c,d)=(ac+bd,ad+bc)

Die Menge der ganzen Zahlen ist dann die Menge aller Äquivalenzklassen:

\mathbb{Z}=\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0/\sim.

Die Ordnung wird definiert durch:

(a,b)<(c,d), falls a+d<c+b.

Jede Äquivalenzklasse hat eine eindeutige einfache Darstellung: Wenn a\geq b, gibt es einen Repräsentanten (n,0) mit n=a-b. Wenn a<b, gibt es einen Repräsentanten (0,n) mit n=b-a.

Die natürliche Zahl n wird in die ganzen Zahlen eingebettet, indem sie auf die durch (n,0) repräsentierte Äquivalenzklasse abgebildet wird. Die durch (0,n) repräsentierte Klasse wird mit -n bezeichnet. Für n\neq0 ist (n,0) eine positive ganze Zahl und (0,n) eine negative ganze Zahl.

Diese Konstruktion funktioniert auch, wenn man statt \mathbb{N}_0 die Menge \mathbb{N} ohne 0 als Ausgangsmenge nimmt. Dann liegt die natürliche Zahl n in der Äquivalenzklasse von (n+1,1), und die 0 liegt in der Klasse von (1,1).