Skalarproduktnorm

Grundidee und Definition

Eine Skalarproduktnorm, auch Innenproduktnorm oder Hilbertnorm, ist eine Norm, die aus einem Skalarprodukt abgeleitet wird. Sie misst die Länge eines Vektors. Ist V ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen und ⟨·,·⟩ ein Skalarprodukt, so lautet die Definition für v∈V:

‖v‖ = √⟨v,v⟩.

Die Wurzel ist wohldefiniert, weil ⟨v,v⟩ reell und nichtnegativ ist. Damit wird der Skalarproduktraum (V,⟨·,·⟩) zu einem normierten Raum (V,‖·‖). Die Norm bestimmt außerdem eine Metrik d und damit einen metrischen Raum sowie eine Normtopologie und damit einen topologischen Raum.

In einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum mit Standardskalarprodukt ist diese Norm die euklidische Norm. Jeder Prähilbertraum besitzt eine zugeordnete Skalarproduktnorm.

Wichtige Beispiele

Zu den Skalarproduktnormen gehören:

• die euklidische Norm für endlichdimensionale Vektoren,
• die ℓ²-Norm auf ℓ², dem Raum quadratisch summierbarer Folgen,
• die L²-Norm auf L², dem Raum quadratisch Lebesgue-integrierbarer Funktionen,
• die Sobolev-Norm auf Hˢ für Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad s quadratisch Lebesgue-integrierbar sind,
• die Frobeniusnorm für Matrizen,
• die Hilbert-Schmidt-Norm für Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Normaxiome und Kennzeichen

Jede Skalarproduktnorm ist eine Norm und erfüllt drei Axiome:

• Definitheit: ‖v‖=0 genau dann, wenn v=0. Dies folgt aus ⟨v,v⟩=0 genau dann, wenn v=0.
• Absolute Homogenität: Für α∈𝕂 gilt ‖αv‖=|α|‖v‖. Ausgangspunkt ist ‖αv‖²=⟨αv,αv⟩=ᾱα⟨v,v⟩=|α|²‖v‖².
• Subadditivität oder Dreiecksungleichung: ‖v+w‖≤‖v‖+‖w‖. Sie wird mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung hergeleitet.

Ein entscheidendes Kennzeichen ist die Parallelogrammgleichung:

‖v+w‖²+‖v−w‖²=2(‖v‖²+‖w‖²).

Nach dem Satz von Jordan-von Neumann wird eine Norm genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn sie diese Gleichung erfüllt. Im reellen Fall lässt sich das Skalarprodukt dann beispielsweise durch die Polarisationsformel ⟨v,w⟩=¼(‖v+w‖²−‖v−w‖²) zurückgewinnen.

Cauchy-Schwarz, Invarianz und Orthogonalität

Für alle v,w∈V gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|⟨v,w⟩|≤‖v‖‖w‖.

Gleichheit gilt genau dann, wenn v und w linear abhängig sind. Im reellen Fall können die Betragsstriche weggelassen werden. Für zwei reelle Vektoren kann dadurch der Winkel φ definiert werden:

cos(φ)=⟨v,w⟩/(‖v‖‖w‖).

Dabei liegt φ in [0,π], also zwischen 0° und 180°. Für komplexe Vektoren gibt es verschiedene Winkeldefinitionen.

Die Norm ist invariant unter unitären Transformationen: Ist U:V→W unitär, dann gilt ‖Uv‖=‖v‖. Denn ‖Uv‖²=⟨Uv,Uv⟩=⟨U*Uv,v⟩=⟨v,v⟩=‖v‖². Im endlichdimensionalen reellen Fall zählen beispielsweise Drehungen um den Nullpunkt dazu.

Vektoren heißen orthogonal, wenn ⟨v,w⟩=0. Dann gilt der Satz des Pythagoras: ‖v+w‖²=‖v‖²+‖w‖². Für paarweise orthogonale v₁,…,vₙ gilt entsprechend ‖v₁+…+vₙ‖²=‖v₁‖²+…+‖vₙ‖². Die Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung.

Verallgemeinerung zur Halbnorm

Wird auf die positive Definitheit verzichtet, kann eine positiv semidefinite hermitesche Sesquilinearform (im reellen Fall eine symmetrische Bilinearform) (·,·):V×V→𝕂 verwendet werden. Sie erzeugt durch

p(v)=√(v,v)

eine Halbnorm. Anders als bei einer Norm können auch von 0 verschiedene Vektoren die Halbnorm 0 haben. Deshalb ist (V,p) im Allgemeinen kein metrischer Raum. Durch Restklassenbildung lässt sich aus der Halbnorm jedoch eine Norm gewinnen; daraus entsteht wieder ein normierter, metrischer und topologischer Raum.

Ein Beispiel ist die Kovarianz auf dem Raum der Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten. Auf dem Quotientenraum von Zufallsvariablen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden, wird sie zu einem Skalarprodukt. Die zugehörige Norm ist die Standardabweichung einer Zufallsvariablen.