Grad (Polynom)

Grundidee

Der Grad eines Polynoms beschreibt seine höchste vorkommende Potenz. Bei einem Polynom in einer Variablen ist er der größte Exponent in der Standarddarstellung als Summe von Monomen. So hat 2X^{5}-X^{3}+7X^{2} den Grad 5.

Bei mehreren Variablen heißt er auch Totalgrad: Zuerst addiert man in jedem Monom die Exponenten aller Variablen. Anschließend ist der Grad des Polynoms der größte dieser Monomgrade. Beispielsweise haben X^{2}Y^{3}Z und das Polynom -3X^{2}Y^{3}Z+7X^{4}Y+XYZ^{2} den Grad 6.

Formale Definition

Sei R ein kommutativer Ring und R[X_{1},\dots,X_{n}] ein Polynomring mit n>0. Für ein von null verschiedenes Monom

m=X_{1}^{e_{1}}X_{2}^{e_{2}}\cdots X_{n}^{e_{n}}

mit e_{1},\dots,e_{n}\in\mathbb{N}\cup\{0\} gilt

\deg(m)=e_{1}+\ldots+e_{n}.

Besteht ein von null verschiedenes Polynom aus f=a_{1}m_{1}+\ldots+a_{r}m_{r}, wobei die Koeffizienten a_j ungleich null sind, dann ist sein Grad beziehungsweise Totalgrad

\deg(f)=\max_{j=1,\dots,r}\deg(m_j).

Für das Nullpolynom gibt es unterschiedliche Konventionen: In der Algebra setzt man meist \deg(0)=-\infty, während bei computergestützten algebraischen Verfahren häufig \deg(0)=-1 verwendet wird. Da jedes Monom nur endlich viele Faktoren enthält, lässt sich die Definition auch auf Polynomringe mit beliebig vielen Variablen übertragen.

Rechenregeln

Für Polynome f,g\in R[X_{1},\dots,X_{n}] gelten:

• \deg(fg)\leq\deg(f)+\deg(g)
• \deg(f+g)\leq\max(\deg(f),\deg(g))

Falls \deg(f)\neq\deg(g), gilt für die Summe sogar

\deg(f+g)=\max(\deg(f),\deg(g)).

Ist R ein Integritätsring, also ein kommutativer Ring ohne Nullteiler, dann gilt für das Produkt stets

\deg(fg)=\deg(f)+\deg(g).

Typische Berechnungen

Für Polynome in \mathbb{Z}[X,Y,Z] gilt:

• \deg(X^{5})=5.
• \deg(X^{2}Y^{3}Z^{4})=2+3+4=9.
• Bei X^{7}Z^{2}+3X^{3}Y^{3}-XY^{4}Z+5YZ ist der größte Monomgrad 7+2=9; das Polynom hat daher Grad 9.
• Bei 3X^{4}Y^{4}-X^{2}Y^{3}Z^{3}+3Y^{4}Z erreichen zwei Monome den höchsten Grad: \deg(X^{4}Y^{4})=8 und \deg(X^{2}Y^{3}Z^{3})=8. Somit hat das Polynom Grad 8.