Parallelogramm

Grundidee und Einordnung

Ein Parallelogramm ist ein ebenes Viereck, bei dem jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Sonderfälle des Parallelogramms. Außerdem gehört jedes Parallelogramm zu den Trapezen und kann als zweidimensionales Parallelepiped verstanden werden.

Wichtig ist das Parallelogramm, weil an ihm grundlegende Zusammenhänge der ebenen Geometrie sichtbar werden: Parallelität, Kongruenz, Flächenberechnung, Symmetrie, Diagonalen und Vektoren. Viele Eigenschaften lassen sich aus der Parallelität der Gegenseiten ableiten.

Erkennungsmerkmale und Eigenschaften

Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und es liegt kein überschlagenes Viereck vor; zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang; gegenüberliegende Winkel sind gleich groß; je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°; die Diagonalen halbieren einander; die Parallelogrammgleichung gilt; oder das Viereck ist punktsymmetrisch, also zweizählig drehsymmetrisch.

Für jedes Parallelogramm gilt außerdem: Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke. Kongruent bedeutet, dass die Dreiecke in Form und Größe übereinstimmen. Das Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Errichtet man über den Seiten Quadrate, dann bilden die Mittelpunkte dieser Quadrate ein Quadrat; dies heißt Satz von Thébault-Yaglom.

Besitzt ein Parallelogramm mindestens eine Symmetrieachse, dann ist es ein Rechteck oder eine Raute.

Wichtige Formeln

Für ein Parallelogramm mit Seitenlängen a und b, Höhen h_a und h_b, Innenwinkeln α, β, γ, δ sowie Diagonalen e und f gelten mehrere Grundformeln.

Der Flächeninhalt kann berechnet werden mit A = a · h_a = b · h_b. Mit dem eingeschlossenen Winkel gilt A = a · b · sin(α) = a · b · sin(β). Über die Diagonalen kann man schreiben: A = (e · f · sin(θ)) / 2, wobei θ der Winkel zwischen den Diagonalen ist. In Vektorschreibweise ist der Flächeninhalt die Länge des Kreuzprodukts: A = || AB × AD ||. Bei einer Transformation in ein Rechteck kann er auch über die Determinante berechnet werden: A = det((a_x, b_x), (a_y, b_y)) = a_x · b_y - b_x · a_y.

Der Umfang lautet U = 2 · a + 2 · b = 2 · (a + b). Für die Innenwinkel gilt α = γ, β = δ und α + β = 180°. Die Höhen sind h_a = b · sin(α) und h_b = a · sin(β).

Für die Diagonalen gilt nach dem Kosinussatz: e = √(a² + b² - 2ab · cos(β)) = √(a² + b² + 2ab · cos(α)) und f = √(a² + b² - 2ab · cos(α)) = √(a² + b² + 2ab · cos(β)). Die Parallelogrammgleichung lautet e² + f² = 2 · (a² + b²).

Flächeninhalt und Konstruktion

Die wichtigste Flächenformel lautet: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus der Länge einer Grundseite und der zugehörigen Höhe. Also A = b · h, beziehungsweise allgemein A = a · h_a oder A = b · h_b. Anschaulich kann man ein Parallelogramm in ein flächengleiches Rechteck umformen oder es aus einem großen Rechteck berechnen, indem man passende Teilflächen abzieht.

In der vektoriellen Darstellung führt diese Rechnung auf die Determinantenformel A = a_x · b_y - b_x · a_y. Dabei beschreiben die Komponenten a_x, a_y und b_x, b_y zwei Richtungsvektoren des Parallelogramms.

Ein Parallelogramm ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Seitenlängen a und b sowie die Höhe h_a gegeben sind. Für die Konstruktion eines rechten Winkels kann ein Punkt E frei gewählt werden.

Gitter, Verallgemeinerungen und Sätze

Parallelogramme können ein Gitter in der Ebene bilden. Ein Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Die Richtungsvektoren u und v verbinden benachbarte Punkte; mit ganzzahligen Vielfachen dieser Vektoren entsteht die Punktmenge des Gitters. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter. Es ist zweizählig drehsymmetrisch, also punktsymmetrisch, und translationsymmetrisch für alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum.

Je nach Form der Gitterzelle ergeben sich vier zweidimensionale Bravais-Gitter: Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm. Dazu gehören das quadratische, rechtwinklige, zentriert-rechtwinklige und schiefwinklige Bravais-Gitter.

Eine Verallgemeinerung auf n Dimensionen ist das Parallelotop. Es wird beschrieben als die Menge {α₁ · p₁ + α₂ · p₂ + ... + α_n · p_n | 0 ≤ α_i ≤ 1}, wobei die p_i n linear unabhängige Vektoren sind. Parallelotope sind punktsymmetrisch. In drei Dimensionen heißt das entsprechende Parallelotop Parallelepiped. Es hat sechs paarweise kongruente Seitenflächen in parallelen Ebenen, zwölf Kanten und acht Ecken.

Der Satz von Varignon lautet: Verbindet man in einem beliebigen Viereck ABCD die Mittelpunkte benachbarter Seiten, entsteht ein Parallelogramm EFGH. Der Beweis nutzt zum Beispiel zentrische Streckungen mit dem Faktor 1/2: Die entstehenden Strecken sind parallel zu den Diagonalen des ursprünglichen Vierecks. Außerdem ist der Umfang dieses Parallelogramms genauso groß wie die Summe der Diagonalenlängen des Vierecks ABCD, und seine Fläche ist halb so groß wie die Fläche von ABCD.

Besondere Anwendungen und Beispiele

Beim Satz von Thébault-Yaglom werden über den Seiten eines Parallelogramms ABCD Quadrate errichtet. Die Mittelpunkte dieser Quadrate, E, F, G und H, bilden wiederum ein Quadrat. Der Beweis verwendet kongruente Dreiecke nach dem Kongruenzsatz SWS und die Tatsache, dass Diagonalen eines Quadrats orthogonal sind.

Ein besonderer Fall verbindet Parallelogramme mit dem Goldenen Schnitt Φ. Hat ein Parallelogramm das Seitenverhältnis längere Seite zu kürzerer Seite gleich Φ und einen spitzen Innenwinkel von 60°, wobei die kürzere Seite die Länge 1 hat, können zwei Folgen gleichseitiger Dreiecke so angeordnet werden, dass jedes Dreieck der Folge durch eine Ecke seines Nachfolgers ebenfalls im Goldenen Schnitt geteilt wird. Die zugehörigen Dreiecksspiralen füllen die Fläche des Parallelogramms aus; die Flächen der mittleren Parallelogramme konvergieren gegen Null. Ist h die Höhe auf der längeren Seite, dann hat jede der beiden Dreiecksspiralen die Flächenmaßzahl A = 1/2 · Φ · h = 1/4 · Φ · √3.

In der Technik werden Parallelogramme besonders in der Mechanik genutzt. Vier Gelenke können eine bewegliche, parallelentreue Lagerung bilden, die Parallelogrammführung heißt. Beispiele sind das Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung, Parallel-Scheibenwischer, Hubarbeitsbühnen und der Pantograph.