Raute

Definition und Bezeichnungen

Eine Raute, auch Rhombus (Plural: Rhomben) oder Karo, ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel, gegenüberliegende Winkel gleich groß. Ein Quadrat ist ein Sonderfall der Raute; ein auf die Spitze gestelltes Quadrat wird im Alltag manchmal ebenfalls verallgemeinernd „Raute“ genannt.

Als Zeichen erscheinen Rauten beispielsweise als ◆ (U+25C6, „vollflächiges Karo“), ◇ (U+25C7, „hohles Karo“) und ◊ (U+25CA, „Spitzraute“) im Unicode-Block Geometrische Formen. In der Heraldik heißen rautenförmige Elemente auch Wecke oder Spindel; das auf die Spitze gestellte Quadrat heißt dort Kantenwürfel. Rautenformen werden etwa in Karomustern, Logos und Verkehrszeichen verwendet. Eine auf eine Fahrspur gemalte Raute kann die Stelle einer Sensorschleife zur Erkennung eines ankommenden metallenen Fahrzeugs markieren. Frankreich führte spätestens im August 2024 eine blaue Verkehrstafel mit weißer Raute ein: Sie kennzeichnet unter anderem Fahrspuren für Busse, Taxis, Fahrgemeinschaften mit mindestens zwei Insassen oder Elektrofahrzeuge mit Rautenplakette.

Eigenschaften und Konstruktion

Eine Raute kann auch als Parallelogramm mit rechtwinklig zueinander stehenden Diagonalen definiert werden. Ihre benachbarten Innenwinkel sind supplementär, ihre Summe beträgt also 180°. Jede Diagonale halbiert die Innenwinkel an ihren Endpunkten. Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander.

Die Raute besitzt einen Inkreis und ist deshalb ein Tangentenviereck. Sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Diagonalen. Beide Diagonalen sind Symmetrieachsen; sie stehen senkrecht aufeinander. Außerdem ist die Raute bezüglich ihres Diagonalenschnittpunkts punktsymmetrisch. Ihre Symmetriegruppe ist die Kleinsche Vierergruppe. Beim Quadrat ist sie dagegen eine Diedergruppe mit 8 Elementen.

Weitere gleichwertige Kennzeichnungen sind: ein Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten, ein Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen, ein Parallelogramm mit einer winkelhalbierenden Diagonale, ein Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten oder ein Viereck mit orthogonalen Diagonalen, die einander halbieren. Für die Konstruktion genügen zwei Bestimmungsstücke, zum Beispiel Seitenlänge und ein Winkel.

Wichtige Formeln

Dabei bedeuten a die Seitenlänge, h_a die zugehörige Höhe, e und f die Diagonalen, α und β die Innenwinkel sowie r_i den Inkreisradius.

Der Flächeninhalt lautet A = a · h_a. Er kann auch mit den Diagonalen berechnet werden: A = (e · f)/2. Außerdem gilt A = a² · sin(α) = a² · sin(β) sowie A = h_a²/sin(α) = h_a²/sin(β). Der Umfang ist u = 4 · a.

Für die Seitenlänge gilt a = (1/2) · √(e² + f²). Die Diagonalen lassen sich mit den Winkeln berechnen: e = 2 · a · cos(α/2) = 2 · a · sin(β/2) und f = 2 · a · sin(α/2) = 2 · a · cos(β/2). Die Höhe ist h_a = a · sin(α) = a · sin(β) sowie h_a = (e · f)/√(e² + f²). Der Inkreisradius erfüllt r_i = h_a/2 = a · sin(α)/2 = a · sin(β)/2 = (e · f)/(2 · √(e² + f²)). Für die beiden Innenwinkel gilt α + β = 180°.

Optimierung und Rautensterne

Bei mehreren Optimierungsaufgaben unter Rauten ist das Quadrat die Lösung. Das gilt etwa für minimalen Umfang bei gegebener Höhe oder gegebenem Flächeninhalt des Inkreises, minimalen Flächeninhalt bei gegebener Höhe oder gegebenem Inkreisflächeninhalt, maximale Höhe oder maximalen Inkreisflächeninhalt bei gegebenem Umfang, maximalen Flächeninhalt bei gegebenem Umfang sowie minimale Umfang bei gegebenem Flächeninhalt. Je zwei der sechs genannten Aufgaben sind im Prinzip dieselbe Frage mit anderen vorgegebenen Größen; es gibt daher drei verschiedene Probleme. Nicht jede denkbare Optimierungsaufgabe für Rauten hat das Quadrat als Lösung.

Die Aufgaben zu Höhe und Inkreisfläche haben dieselbe Lösung, weil die Inkreisfläche π · r_i² = (1/4) · π · h_a² stetig und streng monoton mit h_a wächst. Beispielsweise hat bei gegebener Höhe das Quadrat den kleinsten Flächeninhalt. Für positive Diagonalen e und f folgt dies aus √(e · f) ≤ (e + f)/2; Gleichheit gilt genau für e = f.

Mehrere Rauten bilden einen n-zackigen Rautenstern nur dann, wenn ihr Zentriwinkel an der zusammengefügten Spitze 360°/n beträgt, wobei n eine natürliche Zahl ist. Im dreidimensionalen Fall können auch anderswinklige Rauten an einer Spitze zusammengefügt werden und pyramidenförmige Spitzen bilden.

Parkettierungen, Körper und Gestaltung

Jede Raute kann die Ebene lückenlos parkettieren, allerdings nur in zwei Hauptrichtungen. Die Rautenparkettierung bildet mit dem Quadratgitter als Sonderform eine der 17 möglichen Symmetriegruppen von Parkettierungen. Ein Beispiel ist die bayerische Staatsflagge, deren Muster heraldisch „schräg gerautet“ heißt. Eine besondere, aperiodische beziehungsweise quasikristalline Form ist die Penrose-Parkettierung aus zwei Rauten: Ihre Innenwinkel betragen 36° und 144° beziehungsweise 72° und 108°.

Auch bei Polyedern, also dreidimensionalen Körpern mit ebenen Flächen, kommen Rauten vor. Rhomboeder, Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder werden ausschließlich von Rauten begrenzt. Beim Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind die Flächen kongruente Rauten. Diese Körper sind drehsymmetrisch, können also durch Drehung um bestimmte Achsen auf sich selbst abgebildet werden.

In Architektur, Kunst und Design erscheinen Rauten beispielsweise in Mosaiken, Giebeldekoren, Rhombendächern, Logos und Skulpturen. Die Rhombusleiste wird zur Fassadenverkleidung oder für Sichtschutzwände eingesetzt; ihr Querschnitt ist jedoch üblicherweise kein Rhombus, sondern ein Parallelogramm.