Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Potenzregel
Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen.
Inhalt5 Abschnitte
Kernidee und Grundformel
Die Potenzregel ist eine Grundregel der Differentialrechnung. Sie gibt an, wie man Potenzfunktionen ableitet, also Funktionen der Form f(x)=x^n oder allgemeiner f(x)=x^s. Ihre wichtigste Formel lautet:
f'(x)=n·x^(n-1) beziehungsweise allgemeiner f'(x)=s·x^(s-1).
Dabei wird der Exponent als Faktor vor die Potenz gezogen und anschließend um 1 verringert. Die Regel ist besonders wichtig, weil auch Wurzelfunktionen und die Kehrwertfunktion als Potenzfunktionen geschrieben werden können. Zusammen mit Summenregel und Faktorregel kann man mit ihr jede ganzrationale Funktion ableiten.
Geltungsbereich
Für natürliche Exponenten n ist die Funktion f(x)=x^n für alle x∈R definiert und differenzierbar. Für n∈{2,3,4,...} gilt:
f'(x)=n·x^(n-1).
Für n=1 bleibt diese Formel an der Stelle x=0 nur dann gültig, wenn man 0^0:=1 setzt. Beispiel: Aus f(x)=x^4 folgt f'(x)=4·x^3.
Für negative ganzzahlige Exponenten n ist f(x)=x^n bei x=0 nicht definiert, weil dort eine Division durch 0 auftreten würde. Für x≠0 gilt die Potenzregel aber weiterhin:
f'(x)=n·x^(n-1).
Beispiel: Für f(x)=x^(-1) mit x≠0 ist f'(x)=(-1)·x^(-2).
Für beliebige reelle Exponenten s, die keine ganzen Zahlen sein müssen, gilt die Potenzregel im Allgemeinen nur für x>0:
f'(x)=s·x^(s-1).
Beispiel: Ist f(x)=x^(-1/2) mit x≥0, dann gilt für x>0: f'(x)=-(1/2)x^(-3/2). An der Stelle x=0 ist diese Funktion nicht differenzierbar.
Herleitung für natürliche Exponenten
Für eine natürliche Zahl n wird die Ableitung von f(x)=x^n mit dem Differenzenquotienten hergeleitet:
Δy/Δx = ((x+Δx)^n - x^n)/Δx.
Mithilfe des binomischen Lehrsatzes wird (x+Δx)^n entwickelt. Im Zähler hebt sich der Term x^n mit -x^n auf. Alle übrigen Terme enthalten einen Faktor Δx, der mit dem Nenner gekürzt werden kann. Danach bleibt ein Ausdruck der Form
n·x^(n-1) + Terme mit Δx.
Beim Grenzübergang Δx→0 verschwinden alle Terme, die noch Δx enthalten. Übrig bleibt der erste Term:
lim_(Δx→0) Δy/Δx = n·x^(n-1).
Damit ist die Potenzregel für natürliche Exponenten begründet.
Herleitung für weitere Exponenten
Für negative ganzzahlige Exponenten wird f(x)=x^n als Kehrwert einer Potenz mit natürlichem Exponenten geschrieben. Ist n negativ, dann gibt es eine natürliche Zahl m mit -m=n, und man betrachtet f(x)=1/g(x) mit g(x)=x^m. Mit der Reziprokenregel gilt:
(1/g(x))' = -g'(x)/g(x)^2.
Da aus dem natürlichen Fall bekannt ist, dass (x^m)'=m·x^(m-1), folgt:
f'(x)=-(m·x^(m-1))/x^(2m) = -m·x^(-m-1) = n·x^(n-1).
Für beliebige, auch komplexe Exponenten s verwendet man die Darstellung über Exponentialfunktion und Logarithmus:
x^s = (e^(ln x))^s = e^(s·ln x).
Dann wird mit der Kettenregel abgeleitet:
(x^s)' = (e^(s·ln x))' = e^(s·ln x)·(s·ln x)'.
Mit Faktorregel und (ln x)'=1/x ergibt sich (s·ln x)'=s·1/x. Einsetzen liefert:
(x^s)' = x^s·s·1/x = s·x^(s-1).
Diese Herleitung gilt nur für x≠0. Für s>1 ist f(x)=x^s aber auch bei x=0 differenzierbar; über den Differenzenquotienten ergibt sich f'(0)=lim_(Δx→0)(Δx)^(s-1)=0=s·0^(s-1).
Höhere Ableitungen
Für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten n kann man auch höhere Ableitungen angeben. Die k-fache Ableitung bedeutet, dass eine Funktion k-mal hintereinander abgeleitet wird. In Leibniz-Notation gilt innerhalb des Definitionsbereichs für 1≤k≤n:
d^k/dx^k x^n = n!/(n-k)! · x^(n-k).
Hier bezeichnet n! die Fakultät, also das Produkt 1·2·...·n. Für k=1 ergibt sich wieder die gewöhnliche Potenzregel:
d/dx x^n = n·x^(n-1) = n!/(n-1)! · x^(n-1).
Die Formel lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen: Man zeigt sie zuerst für k=1, nimmt sie dann für ein k als wahr an und leitet diese k-te Ableitung noch einmal ab. Dadurch entsteht die Formel für k+1:
d^(k+1)/dx^(k+1) x^n = n!/(n-k-1)! · x^(n-k-1).
Definiert man eine Funktion als 0-te Ableitung ihrer selbst, gilt die Formel auch für k=0. Für k=n erhält man besonders:
d^n/dx^n x^n = n!.
Für k>n ist jede weitere Ableitung 0, weil nach der n-ten Ableitung nur noch die konstante Funktion n! übrig bleibt und die Ableitung einer konstanten Funktion die Nullfunktion ist.
