Summenregel

Kernaussage der Summenregel

Die Summenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sind zwei Funktionen u und v auf einem Intervall an einer Stelle x₀ differenzierbar, dann ist auch ihre Summenfunktion f=u+v an dieser Stelle differenzierbar.

Die Ableitung wird gliedweise gebildet:

(u+v)'(x₀)=u'(x₀)+v'(x₀).

Anschaulich bedeutet dies: Die Steigung der Tangente an den Graphen von f=u+v ist die Summe der Tangentensteigungen der Graphen von u und v.

Beispiel

Gegeben ist f(x)=x⁴+x³. Diese Funktion setzt sich zusammen aus u(x)=x⁴ und v(x)=x³.

Beide Funktionen sind auf ℝ differenzierbar. Es gilt u'(x)=4x³ und v'(x)=3x². Mit der Summenregel folgt:

f'(x)=4x³+3x².

Jeder Summand der ursprünglichen Funktion wird also einzeln abgeleitet und die Ergebnisse werden anschließend addiert.

Herleitung über Änderungsquotienten

Ändert sich die unabhängige Variable um Δx, so ändern sich u und v um Δu beziehungsweise Δv. Für f=u+v gilt deshalb:

Δf=Δu+Δv.

Teilt man durch Δx, erhält man den Änderungsquotienten:

Δf/Δx = (Δu+Δv)/Δx = Δu/Δx + Δv/Δx.

Lässt man Δx gegen 0 gehen, werden die Änderungsquotienten zu Ableitungen. Daraus entsteht die Summenregel.

Begründung mit Grenzwerten

Für u,v: I→ℝ, die an x₀∈I differenzierbar sind, ist f=u+v. Der Differenzenquotient von f lässt sich umformen zu:

(f(x)-f(x₀))/(x-x₀) = (u(x)-u(x₀))/(x-x₀) + (v(x)-v(x₀))/(x-x₀).

Nach dem Grenzwertsatz für Summen ist der Grenzwert der Summe die Summe der Grenzwerte. Da die beiden Grenzwerte für u und v aufgrund der Differenzierbarkeit existieren, existiert auch der Grenzwert für f. Somit gilt:

f'(x₀)=u'(x₀)+v'(x₀).

Wichtige Folgerungen

Für eine Differenz f=g-h=g+(-h) folgt mit Summenregel und Faktorregel:

f'(x₀)=g'(x₀)-h'(x₀).

Die Regel gilt außerdem für Linearkombinationen. Sind g₁,…,gₙ an x₀∈ℝ differenzierbar und c₁,…,cₙ∈ℝ Konstanten, dann ist

f(x)=∑ᵢ₌₁ⁿ cᵢgᵢ(x)

differenzierbar und es gilt:

f'(x₀)=∑ᵢ₌₁ⁿ cᵢgᵢ'(x₀).

Die differenzierbaren Funktionen auf einem gegebenen Intervall bilden daher einen reellen Vektorraum. Die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.