Potenzfunktion

Grundidee und wichtige Sonderfälle

Eine Potenzfunktion hat die Form f(x)=ax^r mit a,r∈ℝ und a≠0. Bei natürlichen oder ganzzahligen Exponenten schreibt man meist n: f(x)=ax^n, n∈ℤ. Für natürliches n ist ax^n ein Monom. Ganzrationale Funktionen setzen sich aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammen, rationale Funktionen aus solchen mit ganzzahligen Exponenten.

Wichtige Fälle sind: r=0: konstante Funktion f(x)=a; r=1: homogene lineare Funktion beziehungsweise Proportionalität f(x)=ax; r=2: Quadratfunktion f(x)=ax²; r=1/n mit n∈ℕ: Wurzelfunktionen; r=−1: f(x)=1/x.

Definitions- und Wertemengen

Ohne Wurzeln aus negativen Zahlen gilt für die maximale Definitionsmenge: Bei ganzzahligem r ist sie für r>0 gleich ℝ, für r<0 gleich ℝ{0}. Bei nicht ganzzahligem r ist sie für r>0 gleich ℝ₀⁺ und für r<0 gleich ℝ⁺.

Die Wertemenge hängt von Vorzeichen, Exponent und bei ganzzahligem r von dessen Parität ab. Für a>0 gilt bei r>0: ℝ₀⁺ für gerade oder nicht ganzzahlige r, ℝ für ungerade r. Bei r<0 gilt: ℝ⁺ für gerade oder nicht ganzzahlige r, ℝ{0} für ungerade r. Für a<0 erhält man entsprechend bei geraden oder nicht ganzzahligen r ℝ₀⁻ beziehungsweise ℝ⁻; bei ungeraden r bleibt die Wertemenge ℝ beziehungsweise ℝ{0}.

Graphen, Symmetrie und Grenzverhalten

Graphen mit natürlichen n heißen Parabeln n-ter Ordnung, mit negativen ganzzahligen n Hyperbeln n-ter Ordnung. Der Faktor a streckt den Graphen bezüglich der y-Achse um |a|; bei a<0 wird er zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Bei Definitionsmenge ℝ{0} hat der Graph zwei Äste, sonst einen.

Nur bei ganzzahligem r sind die Graphen symmetrisch: Gerade r liefern Achsensymmetrie zur y-Achse, ungerade r Punktsymmetrie zum Ursprung.

Für positive Exponenten haben x^r eine Nullstelle bei x=0, steigen langsamer als e^x und gehen für x→+∞ gegen +∞. Bei ganzzahligem r folgt das Verhalten für x→−∞ aus der Symmetrie. Für negative Exponenten gehen x^r bei x→0 mit x>0 gegen +∞, fallen und gehen für x→+∞ gegen 0.

Stetigkeit, Ableitung und Integral

Jede Potenzfunktion f(x)=ax^r ist auf ihrer Definitionsmenge stetig. Die Potenzregel lautet f'(x)=arx^(r−1). Sie gilt für x≠0 und alle r, sofern x^r an dieser Stelle definiert ist; bei x=0 gilt sie ebenfalls für r≥1. Für 0<r<1 ist f(x)=ax^r bei x=0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Beispiel: (x·∛(x²))'=(5/3)∛(x²), gültig auf ℝ₀⁺; mit zugelassenen ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen sogar auf ℝ.

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl r≠−1 gilt auf Intervallen innerhalb der Definitionsmenge ∫x^r dx=x^(r+1)/(r+1)+C. Für r=−1 gilt ∫1/x dx=ln(|x|)+C. Das Beispiel lautet: ∫x∛(x²) dx=∫x^(5/3) dx=3/8 x^(8/3)+C=3/8 x²∛(x²)+C.

Ungerade Wurzeln und Anwendungen

Für ungerades n und jedes x∈ℝ kann ∛[n]{x} als die eindeutige reelle Zahl y mit y^n=x definiert werden. So ist ∛(−8)=−2. Für r=n/m mit n∈ℤ, ungeradem m∈ℕ und teilerfremden m,n lässt sich x^r=∛[m]{x^n}=(∛[m]{x})^n auch für negative x definieren. Dann ist die Definitionsmenge bei n>0 ℝ, bei n<0 ℝ{0}. Die Funktion ist bei geradem n gerade und bei ungeradem n ungerade; ihr Verhalten für negative x folgt aus Symmetrie und dem Verhalten auf der rechten Halbachse.

Anwendungen sind Proportionalitäten (r=1), etwa Kosten und Warenmenge ohne Mengenrabatt oder Masse und Volumen bei konstanter Dichte, sowie reziproke Proportionalitäten (r=−1), etwa Arbeiterzahl und Arbeitszeit. Quadratische Zusammenhänge (r=2) betreffen beispielsweise Quadratfläche und Seitenlänge oder Bewegungsenergie und Geschwindigkeit. Dritte Potenzen (r=3) treten bei Kugelradius und Kugelvolumen sowie Würfelseite und Würfelvolumen auf. Weitere Beispiele sind Strahlungsleistung und absolute Temperatur eines schwarzen Körpers (r=4), das 3. Kepler-Gesetz, Skalengesetze sowie V=(O/6)^(3/2) für Oberfläche O und Volumen V eines Würfels.