Wurzel (Mathematik)

Begriff und Notation

Wurzelziehen oder Radizieren bestimmt die Unbekannte x in der Gleichung a=x^n. Dabei ist n eine natürliche Zahl ungleich 0 und a eine nichtnegative reelle Zahl. Es gibt dann genau ein nichtnegatives reelles x. Dieses x heißt n-te Wurzel, Wurzel, Radikal oder Radix von a. Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens.

Man schreibt x=√[n]{a}. Das Zeichen √ heißt Wurzelzeichen, n Wurzelexponent und a Radikand. Für n=1 gilt √[1]{a}=a. Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel und wird meist ohne Exponent geschrieben: √a=√[2]{a}. Die dritte Wurzel heißt Kubikwurzel; zum Beispiel ist √[3]{8}=2.

Potenzen, Eindeutigkeit und Rechenregeln

Für a≥0 und n≥1 gilt (√[n]{a})^n=a. Eine n-te Wurzel kann deshalb als Potenz mit gebrochenem Exponenten aufgefasst werden: √[n]{a}=a^(1/n).

Das Wurzelzeichen steht bei geradem Exponenten stets für die nichtnegative Lösung. Die Gleichung x²=4 hat zwar die Lösungen +2 und −2, aber √4=+2. Allgemein gilt √[2n]{x^(2n)}=|x|, insbesondere √(x²)=|x|.

Für positive Zahlen a und b gelten die Wurzelgesetze:

• √[n]{a}·√[n]{b}=√[n]{a·b}
• √[n]{a}/√[n]{b}=√[n]{a/b}
• √[m]{√[n]{a}}=√[mn]{a}
• a^(k/n)=√[n]{a^k}=(√[n]{a})^k
• a^(−k/n)=1/a^(k/n)
• √[m]{a}·√[n]{a}=a^(1/m+1/n)=√[mn]{a^(m+n)}.

Bei negativen Radikanden dürfen diese Regeln nur verwendet werden, wenn m und n ungerade sind. Bei komplexen Zahlen sollen sie vermieden werden beziehungsweise gelten nur bei passender Wahl der Nebenwerte; beide Seiten können sich um eine Einheitswurzel unterscheiden.

Für negative Zahlen ist die Schreibweise nicht einheitlich. Eine Auffassung definiert Wurzeln aus negativen Zahlen nie; dann wird die Lösung von x³=−8 als x=−√[3]{8} geschrieben. Nach einer anderen Auffassung sind ungerade Wurzeln definiert und es gilt √[2n+1]{−a}=−√[2n+1]{a}. Diese Festlegung verträgt sich jedoch nicht mit allen Regeln für positive Radikanden: −2=√[3]{−8}, aber √[6]{(−8)²}=√[6]{64}=+2. Auch die Darstellung √[k]{a}=exp((1/k)ln(a)) ist für negative a nicht möglich, weil der natürliche Logarithmus dort nicht definiert ist. Gerade Wurzeln negativer Zahlen sind nicht reell, etwa gibt es kein reelles x mit x²=−1.

Zahlarten, Grenzwerte und Wurzelfunktionen

Ist n eine nichtnegative ganze Zahl und k eine positive ganze Zahl, dann ist √[k]{n} entweder ganz oder irrational. Für n>1 mit Primfaktorzerlegung n=p₁^e₁…pᵣ^eᵣ ist die Wurzel genau dann ganz, wenn jeder Exponent eⱼ durch k teilbar ist. Dann gilt √[k]{n}=p₁^(e₁/k)…pᵣ^(eᵣ/k). Ist mindestens ein eⱼ nicht durch k teilbar, kann die Wurzel nicht rational sein: Die Annahme √[k]{n}=a/b führte nach Potenzieren zu nb^k=a^k und damit zu widersprüchlichen Vielfachheiten eines Primfaktors. Der Beweis der Irrationalität von √2 bei Euklid ist im Wesentlichen der Spezialfall n=k=2.

Es gelten die Grenzwerte lim(n→∞)√[n]{a}=1 für a>0, lim(n→∞)√[n]{n}=1 und lim(n→∞)√[n]{n^k}=1 für festes natürliches k. Aus der Exponentialdarstellung von √[n]{n} folgt außerdem lim(n→∞)ln(n)/n=0.

Für m,n∈ℕ mit m<n gilt 1≤√[n]{m}<√[n]{n}≤√[3]{3}. Die rechte Gleichheit tritt genau bei m=n=3 auf. Wurzelfunktionen haben etwa die Form f:ℝ₀⁺→ℝ₀⁺, x↦√[n]{x}, oder allgemeiner x↦√[n]{x^m}. Sie sind Umkehrungen von Potenzfunktionen und zugleich Potenzfunktionen, denn √[n]{x^m}=x^(m/n).

Berechnung und Näherungen

Wurzeln können schriftlich bestimmt werden; dieses Verfahren ähnelt der schriftlichen Division und beruht auf binomischen Formeln. Für positive x lässt sich eine höhere Wurzel auch mit Logarithmus und Exponentialfunktion ausdrücken: √[n]{x}=x^(1/n)=exp(ln(x)/n).

Für Näherungen dient besonders das Newtonverfahren. Für eine stetig differenzierbare Funktion f wird von einem Startwert x₀ aus die Folge xᵢ₊₁=xᵢ−f(xᵢ)/f′(xᵢ) gebildet. Zur Berechnung von √[n]{a} setzt man f(x)=x^n−a ein. Daraus folgt

xᵢ₊₁=xᵢ−(xᵢ^n−a)/(n·xᵢ^(n−1))=((n−1)xᵢ+a/xᵢ^(n−1))/n.

Der Ausdruck δᵢ=(xᵢ^n−a)/(n xᵢ^(n−1)) ist die absolute Änderung eines Schritts, δᵢ/xᵢ die relative Änderung. Sie werden mit einer absoluten Fehlerschranke bei Festkommarechnung beziehungsweise einer relativen Fehlerschranke bei Gleitkommarechnung verglichen. Für n=2 lautet die Formel xᵢ₊₁=xᵢ−(xᵢ²−a)/(2xᵢ), für n=3 lautet sie xᵢ₊₁=xᵢ−(xᵢ³−a)/(3xᵢ²). Das Verfahren konvergiert für alle x₀>0; Startwerte, deren Größenordnung weit unter der Wurzel liegt, sollten vermieden werden.

Für Quadratwurzeln entspricht dies dem Heron-Verfahren: Aus einer geschätzten Rechteckseite wird die zweite Seite eines flächengleichen Rechtecks bestimmt, danach wird ihr Mittelwert verwendet. Allgemein ist der neue Wert ein gewichteter Mittelwert von xᵢ und H=a/xᵢ^(n−1), der Höhe eines n-dimensionalen senkrechten Prismas mit Volumen a.

Wenn sicher ist, dass eine Zahl die dritte Potenz einer natürlichen Zahl ist, kann man ihre Kubikwurzel abschätzen: Die Größenordnung bestimmt die Zehnerstelle, die letzte Ziffer hilft bei der Einerstelle. So liegt 103.823 zwischen 64.000 und 125.000 und endet auf 3; die dritte Wurzel wird als 47 abgeschätzt. Für 12.167 ergibt sich entsprechend 23. Das Verfahren funktioniert nur unter der genannten Voraussetzung.

Wurzeln komplexer Zahlen

Die komplexen Zahlen entstehen durch Hinzunahme von i=√−1 mit i²=−1 zu den reellen Zahlen. Als n-te Wurzeln einer komplexen Zahl a∈ℂ bezeichnet man alle Lösungen von z^n=a. Anders als im Reellen gibt es bei a≠0 genau n komplexe Wurzeln, nicht eine ausgezeichnete nichtnegative Wurzel.

Schreibt man a=|a|·e^(iφ), dann sind diese Wurzeln

zₖ=√[n]{|a|}·exp(iφ/n+k·2πi/n) für k=0,1,…,n−1.

Für a=1 heißen sie n-te Einheitswurzeln. In der Gaußschen Ebene sind sie die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks auf dem Einheitskreis.

Eine ausgezeichnete Wurzelfunktion kann über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus für z∈ℂ ohne nichtpositive reelle Zahlen definiert werden: z^(1/n)=exp(ln z/n). Diese Wurzel heißt Hauptwert, die übrigen heißen Nebenwerte. Bei einer unstetigen Fortsetzung des Logarithmus auf die negative reelle Achse kann beispielsweise √[3]{−8}=1+i√3 statt −2 entstehen.

Eine im Artikel genannte andere Auswahlregel wählt die Wurzel, deren Argument modulo π den kleinsten absoluten Rest hat; bei Gleichheit wird zuerst positiver Realteil, dann positiver Imaginärteil bevorzugt. Sie ist mit den Regeln für reelle Radikanden kompatibel. Beispiele sind √−1=+i, √[3]{−1}=−1 und √[4]{−1}=(√2+i√2)/2.