Faktorregel

Bedeutung und Aussage

Die Faktorregel beschreibt, wie eine Funktion der Form f(x)=k·u(x) abgeleitet wird. Dabei ist k eine reelle Zahl und u(x) eine differenzierbare Funktion. Der konstante Faktor k bleibt beim Differenzieren erhalten. In Kurzschreibweise gilt:

(k·u)'=k·u'.

Ist u an der Stelle x₀ differenzierbar, so ist auch f mit f(x)=k·u(x) an der Stelle x₀ differenzierbar. Für die Ableitung an dieser Stelle gilt:

f'(x₀)=k·u'(x₀).

Die Regel erleichtert das Ableiten von Funktionen, die als konstantes Vielfaches einer bekannten Funktion vorliegen. Sie folgt direkt aus der Definition der Ableitung und kann außerdem als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Typisches Beispiel

Die Funktion f(x)=5x² besteht aus der Funktion u(x)=x² und dem konstanten Faktor k=5. Zuerst wird u abgeleitet:

u'(x)=2x.

Anschließend bleibt der Faktor 5 nach der Faktorregel erhalten:

f'(x)=5·2x=10x.

Damit lautet die Ableitung von f(x)=5x²: f'(x)=10x.

Algebraische und geometrische Herleitung

Algebraisch sei f=k·u. Ändert sich die unabhängige Variable um Δx, so ändert sich u um Δu. Die Änderung von f ist dann das k-Fache der Änderung von u:

Δf=k·Δu.

Durch Division durch Δx erhält man:

Δf/Δx=k·(Δu/Δx).

Lässt man anschließend Δx→0 gehen, so gehen die Differenzenquotienten in die entsprechenden Ableitungen über. Daraus ergibt sich die Faktorregel.

Geometrisch entsteht der Graph von f=k·u aus dem Graphen von u durch eine Streckung in y-Richtung mit dem Streckfaktor k. Jedes Steigungsdreieck wird ebenfalls in y-Richtung gestreckt. Dadurch wird die Länge der y-Kathete mit k multipliziert, während die x-Kathete unverändert bleibt. Deshalb wird auch das Verhältnis aus y- und x-Kathete, also die Steigung, mit k multipliziert. Das gilt bei beliebig kleinen Steigungsdreiecken und somit auch beim Grenzübergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung.

Beweis über den Grenzwert

Sei u(x) bei x₀ differenzierbar und f(x)=k·u(x). Nach der Differenzierbarkeit konvergiert der Differenzenquotient

[u(x)−u(x₀)]/[x−x₀]

für x→x₀ gegen u'(x₀). Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann auch das k-Fache dieses Ausdrucks gegen k·u'(x₀). Für den Differenzenquotienten von f gilt:

lim₍ₓ→ₓ₀₎ [f(x)−f(x₀)]/[x−x₀] =lim₍ₓ→ₓ₀₎ [k·u(x)−k·u(x₀)]/[x−x₀] =lim₍ₓ→ₓ₀₎ k·[u(x)−u(x₀)]/[x−x₀] =k·u'(x₀).

Der Grenzwert auf der linken Seite ist f'(x₀). Damit ist bewiesen, dass f'(x₀)=k·u'(x₀) gilt.