Natürliche Zahl

Grundidee und Einordnung

Die natürlichen Zahlen sind die grundlegenden Zahlen und stehen in direktem Zusammenhang mit dem Zählen. Sie werden mit ℕ bezeichnet und umfassen je nach Konvention entweder die positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, … oder die nichtnegativen ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, … . Die zugehörigen Zahlzeichen sind beispielsweise 1, 2, 3, 10, 11 und 12; die Grundzahlwörter lauten eins, zwei, drei, zehn, elf und zwölf.

Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen ℤ. Diese sind wiederum in den rationalen Zahlen ℚ und diese in den reellen Zahlen ℝ enthalten. Zusammen mit Addition und Multiplikation bilden die natürlichen Zahlen einen kommutativen Halbring. Welche konkrete Menge mit ℕ gemeint ist, hängt von der verwendeten Definition ab, insbesondere davon, ob die 0 dazugehört.

Bezeichnungskonventionen

Das Formelzeichen für die natürlichen Zahlen ist ℕ, in Unicode mit dem Codepoint U+2115. Zwei Schreibweisen sind verbreitet:

• ℕ = {1, 2, 3, …}: die positiven ganzen Zahlen ohne 0.
• ℕ = {0, 1, 2, 3, …}: die nichtnegativen ganzen Zahlen einschließlich 0.

Die beiden Konventionen werden uneinheitlich verwendet. Die ältere Tradition zählt die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen. Diese Auffassung ist besonders in mathematischen Gebieten wie der Zahlentheorie verbreitet, in denen die Multiplikation im Vordergrund steht. In Logik, Mengenlehre und Informatik ist dagegen die Definition mit 0 gebräuchlicher, weil sie Darstellungen vereinfacht. Nur bei der Definition mit 0 bilden die natürlichen Zahlen zusammen mit der Addition ein Monoid.

Im Zweifelsfall muss ausdrücklich angegeben werden, welche Konvention gilt. Für die natürlichen Zahlen ohne 0 wurde 1888 von Dedekind das Symbol N eingeführt, das heute meist als ℕ geschrieben wird. Peano verwendete ab 1894 für die natürlichen Zahlen mit 0 das Symbol N₀; heute wird dies als ℕ₀ := ℕ ∪ {0} geschrieben, wenn ℕ zunächst die positiven Zahlen bezeichnet.

Wird ℕ für die Zahlen mit 0 verwendet, können die positiven natürlichen Zahlen unter anderem mit ℕ₊, ℕ⁺, ℕ*, ℕ₍>0₎, ℕ₁ oder ℕ \ {0} bezeichnet werden. Die DIN-Norm 5473 verwendet ℕ für die nichtnegativen ganzen Zahlen und ℕ* für die positiven ganzen Zahlen. Deutsche Schulbücher folgen dieser Norm jedoch nicht in allen Bundesländern.

Axiomatische Grundlage

Natürliche Zahlen können durch Axiome festgelegt werden. Richard Dedekind definierte sie 1888 erstmals implizit durch Axiome. Giuseppe Peano stellte 1889 unabhängig davon ein einfacheres und formal präzises Axiomensystem auf. Die Peano-Axiome haben sich durchgesetzt. Heute wird häufig eine schwächere Variante in Prädikatenlogik erster Stufe verwendet, die Peano-Arithmetik heißt. Verwandte Systeme sind die Robinson-Arithmetik und die primitiv rekursive Arithmetik.

Eine Menge kann als Menge der natürlichen Zahlen gelten, wenn sie die Peano-Axiome erfüllt. Dabei gibt es streng genommen unendlich viele solche Mengen. Sie verhalten sich jedoch vollständig gleich; ihre Elemente sind lediglich anders bezeichnet. Mathematisch sagt man, dass sie isomorph sind. Diese Aussage heißt Eindeutigkeitssatz von Dedekind und rechtfertigt die übliche Rede von „den“ natürlichen Zahlen.

In einem Topos 𝒞 kann ein Objekt natürlicher Zahlen abstrakt als Tripel (N ∈ 𝒞, z: 1 → N, s: N → N) axiomatisiert werden. Für jedes Objekt A ∈ 𝒞 und alle Pfeile y: 1 → A und r: A → A gibt es genau einen Pfeil h: N → A mit h ∘ z = y und h ∘ s = r ∘ h. Dabei beschreibt z das Startelement, s die Nachfolgerfunktion und h die eindeutige Fortsetzung einer solchen Konstruktion.

Von Neumanns mengentheoretisches Modell

John von Neumann stellte die natürlichen Zahlen durch Mengen dar. Das Startelement 0 ist die leere Menge: 0 := ∅. Die weiteren Zahlen entstehen rekursiv durch die Nachfolgeroperation n' := n ∪ {n}:

0 := ∅, 1 := 0' = {0} = {∅}, 2 := 1' = {0, 1} = {∅, {∅}}, 3 := 2' = {0, 1, 2}, (n + 1) := n' = {0, 1, …, n} = n ∪ {n}.

Die leere Menge 0 enthält kein Element. Die Menge 1 enthält dagegen die leere Menge als genau ein Element; deshalb sind 0 und 1 verschiedene Mengen. Allgemein ist die Nachfolgermenge die Vereinigung der Vorgängermenge mit der Menge, die den Vorgänger als Element enthält. Diese beiden Teile sind disjunkt, sodass jede Nachfolgermenge von ihrem Vorgänger verschieden ist. Daraus folgt insbesondere die Injektivität der Nachfolgerfunktion, und die Konstruktion erfüllt die Peano-Axiome.

Die Existenz jeder einzelnen natürlichen Zahl wird bereits durch relativ schwache mengentheoretische Voraussetzungen gesichert. Für die Existenz der gesamten Menge ℕ beziehungsweise ℕ₀ benötigt die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre jedoch ein eigenes Unendlichkeitsaxiom. Lässt man weitere Zahlen ohne Vorgänger zu, erhält man eine Verallgemeinerung, die zu den Ordinalzahlen führt.

Einbettung in die reellen Zahlen

Eine weitere Begründung der natürlichen Zahlen beginnt mit dem Körper ℝ der reellen Zahlen. Eine Teilmenge M von ℝ heißt induktiv, wenn zwei Bedingungen gelten:

• 0 ist ein Element von M.
• Aus x ∈ M folgt x + 1 ∈ M.

Dann ist ℕ₀ der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von ℝ. Die natürlichen Zahlen werden dabei als Teilmenge der reellen Zahlen interpretiert; streng genommen sind sie nicht mit den reellen Zahlen identisch.

Alternativ können sie, sofern 0 zu den natürlichen Zahlen gehört, durch eine Monoidmonomorphie in ℝ eingebettet werden. Der kanonische Monomorphismus lautet

ℕ → ℝ, n ↦ n · 1.

Dabei bedeutet n · 1 die n-fache Addition des multiplikativ neutralen Elements 1 der reellen Zahlen. Die reellen Zahlen werden hierbei als additives Monoid betrachtet. Die Abbildung ist ein Homomorphismus und injektiv. Daher kann man die natürlichen Zahlen mit ihrem Bild in ℝ identifizieren. Auf dieselbe Weise lassen sie sich auch in die ganzen, rationalen und komplexen Zahlen einbetten.