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Parameterdarstellung
→ Hauptartikel: Parameterform. Unter der Parameterdarstellung (oder auch Parameterform) einer Geradengleichung versteht man die Form. r → = r → 0 + λ ⋅ u …
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Grundidee und Definition
Eine Parameterdarstellung ist in der Mathematik eine Darstellung, bei der die Punkte einer Kurve oder Fläche durch eine oder mehrere Variablen beschrieben werden. Diese Variablen heißen Parameter. Für eine Kurve in der Ebene oder im Raum genügt ein Parameter; für eine Fläche braucht man zwei Parameter. Eine Kurve oder Fläche mit Parametern zu beschreiben, heißt Parametrisierung. Die Zuweisung konkreter Werte zu den Parametern heißt Parametrierung.
Ein wichtiges Beispiel ist der Einheitskreis um den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Mit dem Winkel t als Parameter erhält man den Ortsvektor
r(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t) für 0 ≤ t < 2π.
Diese Darstellung erfüllt die Kreisgleichung x² + y² = 1. Der Einheitskreis kann auch anders parametrisiert werden, zum Beispiel durch rationale Funktionen x = (1 - τ²)/(1 + τ²) und y = 2τ/(1 + τ²). Beide Darstellungen beschreiben Punkte desselben Kreises, obwohl sie unterschiedliche Parameter verwenden.
Der Vorteil einer Parameterdarstellung ist: Wenn die Parameterwerte bekannt sind, kann man den zugehörigen Punkt direkt berechnen. Umgekehrt ist es meist schwieriger zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt auf der Kurve oder Fläche liegt.
Eigenschaften und Nutzen
Kurven und Flächen können auch auf andere Weise beschrieben werden. Der Graph einer Funktion beschreibt in der Ebene eine Kurve; im dreidimensionalen Raum beschreibt z = f(x,y) eine Fläche. Solche Darstellungen kann man als spezielle Parameterdarstellungen auffassen, wenn man die Funktionsvariablen als Parameter betrachtet. Sie eignen sich aber nicht gut für Figuren wie Kreise oder Kugeln, weil sie jedem x-Wert beziehungsweise jedem Punkt der x-y-Ebene nur einen Punkt zuordnen. Zum Beispiel beschreibt y = f(x) = √(1 - x²) nur den oberen Halbkreis. Für den ganzen Kreis müsste man zusätzlich y₂ = -f(x) verwenden.
Eine weitere Möglichkeit ist die implizite Beschreibung durch eine Gleichung der Koordinaten, etwa F(x,y) = 0. Der Einheitskreis lässt sich so durch x² + y² - 1 = 0 beschreiben. Diese Form ist besonders geeignet für eine Punktprobe: Man setzt die Koordinaten eines Punktes ein und prüft, ob die Gleichung erfüllt ist. Mit einer einzelnen impliziten Gleichung können jedoch nur Objekte beschrieben werden, deren Dimension um 1 kleiner ist als die Dimension des Raumes. Im dreidimensionalen Raum reicht eine Gleichung also für Flächen, aber nicht für Kurven.
Parameterdarstellungen sind besonders praktisch, um Punkte einer Kurve oder Fläche zu berechnen und das Objekt zu zeichnen, zum Beispiel in CAD-Systemen. Außerdem lassen sich berechnete Koordinaten leicht in andere Koordinatensysteme transformieren; dadurch können Objekte verschoben, gedreht oder skaliert werden.
Anwendungen in Physik und Geometrie
In der Physik verwendet man Parameterdarstellungen zur Beschreibung von Bewegungen. Meist ist die Zeit t der Parameter. Der Ortsvektor r(t) gibt dann die Position eines bewegten Objekts zur Zeit t an. Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit ist die Geschwindigkeit v(t) = r′(t), die zweite Ableitung ist die Beschleunigung a(t) = r″(t).
Wenn Anfangsposition r₀, Anfangsgeschwindigkeit v₀ zum Zeitpunkt t₀ und ein Beschleunigungsfeld a(r,t) gegeben sind, erhält man die Bahnkurve durch Integration. Bei konstanter Beschleunigung, etwa beim schrägen Wurf ohne Luftwiderstand, ergibt sich
r(t) = r₀ + v₀ · (t - t₀) + 1/2 · a · (t - t₀)².
Auch in der Differentialgeometrie sind Parameterdarstellungen wichtig. Mit Ableitungen der Ortsvektoren nach den Parametern lassen sich Längen, Tangentenvektoren oder Tangentialebenen, Krümmungen, Winkel und Flächeninhalte bestimmen. Für Längen, Winkel und Flächeninhalte auf Flächen muss nicht immer eine explizite Darstellung der Fläche im Raum bekannt sein. Es genügt, die Metrik, also die erste Fundamentalform, zu kennen. Sie beschreibt die Längen entlang der Parameterlinien und die Winkel zwischen ihnen.
Geraden und Ebenen
Die Parameterform einer Geradengleichung lautet
r = r₀ + λ · u.
Dabei ist λ ein reeller Parameter. Der Vektor r₀ ist der Ortsvektor eines Punktes P₀ auf der Geraden. Dieser Punkt heißt Aufpunkt oder Stützpunkt; der Vektor r₀ heißt Stützvektor. Der Vektor u heißt Richtungsvektor der Geraden und darf kein Nullvektor sein. Wenn u ein Einheitsvektor ist, entspricht λ dem Abstand eines Geradenpunktes von P₀.
Die Parameterform einer Ebenengleichung lautet
r = r₀ + λ · u + μ · v.
Hier sind λ und μ reelle Parameter. Die Vektoren u und v heißen Richtungsvektoren oder Spannvektoren der Ebene. Sie dürfen keine Nullvektoren sein und außerdem nicht kollinear, also nicht parallel in derselben Richtung liegend. Die Spannvektoren erzeugen ein affines Koordinatensystem in der Ebene. Die Parameter λ und μ sind dann affine Koordinaten. Den Ortsvektor eines Punktes Q(λ, μ) erhält man, indem man zu r₀ das λ-fache von u und das μ-fache von v addiert.
Reguläre Darstellungen und höhere Dimensionen
Eine differenzierbare Parameterdarstellung einer Kurve heißt regulär, wenn ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet. Das bedeutet: Die Kurve hat in jedem Punkt eine wohldefinierte Richtung der Bewegung entlang der Parametrisierung. Sie muss dabei nicht injektiv sein; verschiedene Parameterwerte dürfen also denselben Punkt liefern.
Allgemeiner heißt eine differenzierbare Parameterdarstellung regulär, wenn sie eine Immersion ist. Das bedeutet, dass ihre Ableitung überall injektiv ist; ihr Rang ist mindestens so groß wie die Dimension des Urbilds.
Die Idee der Parametrisierung lässt sich auf höhere Dimensionen übertragen. Ist K eine Karte einer d-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, dann wird sie durch eine n-dimensionale differenzierbare Parametrisierung beschrieben. Für Punkte P in K gilt P entspricht (u₁, …, uₙ), wobei die uᵢ differenzierbare Funktionen sind.
Für eine Funktion f(P) auf der Mannigfaltigkeit gilt für die Ableitung in Richtung des Tangentialvektors einer Kurve mit Kurvenparameter λ:
df/dλ = Σᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂uᵢ)(duᵢ/dλ).
Dieses Ergebnis folgt aus der Kettenregel und ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung.
NURBS in der Computergrafik
In der Computergrafik bezeichnet Parametrisierung häufig die Verteilung von Kurven, die eine NURBS-Fläche aufspannen, oder die Verteilung von Punkten, die eine Kurve aufspannen. NURBS-Flächen besitzen Flächenlinien, die Isoparms oder isoparametrische Kurven heißen. Die Punkte auf NURBS-Kurven heißen Control Vertices, abgekürzt CV. Diese Darstellung des Aufbaus entspricht einer Parameterdarstellung und wird in der Branche Komponentendarstellung genannt.
Die Parametrisierung muss dabei nicht homogen sein. Das bedeutet, dass die Punkte oder Kurven nicht gleichmäßig verteilt sein müssen. In dem beschriebenen Beispiel haben zwei gleich aufgebaute Kurven eine hohe Punktdichte unten links. Ein blauer Würfel respektiert diese CV-Verteilung nicht, sondern bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit und geht damit von einer homogenen Parametrisierung aus. Ein grüner Würfel respektiert dagegen die unterschiedliche Punktdichte und verlangsamt sich dort, wo die CVs eng beieinanderstehen. Beide Animationen bestehen aus 200 Einzelbildern.
