Zweipunkteform

Grundidee und Zweck

Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist eine spezielle Form einer Geradengleichung. Sie beschreibt eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mithilfe zweier verschiedener Punkte der Geraden beziehungsweise deren Koordinaten. Sie ist besonders nützlich, wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind und daraus leicht eine Geradengleichung aufgestellt werden soll.

In der Koordinatendarstellung wird die Steigung der Geraden aus den Koordinaten der beiden Punkte bestimmt. In der Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines Punktes als Stützvektor; der Differenzvektor der beiden Ortsvektoren bildet den Richtungsvektor. Die entsprechende Form einer Ebenengleichung heißt Dreipunkteform.

Zweipunkteform in Koordinaten

Eine Gerade der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) verläuft, besteht aus allen Punkten (x, y), deren Koordinaten

(y − y₁)/(x − x₁) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

erfüllen. Dabei muss x₁ ≠ x₂ gelten, und in dieser Bruchdarstellung darf x nicht gleich x₁ sein.

Nach y aufgelöst ergibt sich die explizite Darstellung

y = ((y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)) · (x − x₁) + y₁.

Diese Form kann auch für x = x₁ verwendet werden. Durch Multiplikation mit (x₂ − x₁) erhält man eine Darstellung, die ohne Einschränkung gültig ist:

(y − y₁) · (x₂ − x₁) = (x − x₁) · (y₂ − y₁).

Die Formeln geben dieselbe Gerade in unterschiedlichen Darstellungen an.

Herleitung und Determinantenform

Für die Steigung m einer Geraden durch die Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) gilt

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Nach dem Strahlensatz kann anstelle des zweiten Punktes (x₂, y₂) jeder beliebige Geradenpunkt (x, y) gewählt werden, ohne dass sich das Verhältnis der entsprechenden Höhen- und Breitenänderungen ändert. Daher gilt auch

m = (y − y₁)/(x − x₁).

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für m entsteht die Zweipunkteform. Die Gleichung m = (y − y₁)/(x − x₁) entspricht zugleich der Punktsteigungsform einer Geradengleichung.

Eine Gerade durch zwei vorgegebene Punkte kann außerdem mithilfe einer Determinante beschrieben werden. Die Determinantenform lautet

det((x, x₁, x₂), (y, y₁, y₂), (1, 1, 1)) = 0.

Äquivalent dazu ist

det((x − x₁, x₂ − x₁), (y − y₁, y₂ − y₁)) = 0.

Eine solche Darstellung heißt Determinantenform einer Geradengleichung.

Vektordarstellung und Beispiel

Sind p⃗ und q⃗ die Ortsvektoren zweier Punkte einer Geraden, so wird die Gerade durch alle Ortsvektoren x⃗ beschrieben, für die

x⃗ = p⃗ + t(q⃗ − p⃗), t ∈ ℝ,

gilt. Dabei ist p⃗ der Stützvektor und q⃗ − p⃗ der Richtungsvektor. Der Parameter t ordnet jedem reellen Parameterwert genau einen Punkt der Geraden zu. Deshalb handelt es sich um eine spezielle Parameterdarstellung.

Ausgeschrieben lautet die Gleichung in der Ebene

(x, y)ᵀ = (pₓ, pᵧ)ᵀ + t(qₓ − pₓ, qᵧ − pᵧ)ᵀ = (pₓ + t(qₓ − pₓ), pᵧ + t(qᵧ − pᵧ))ᵀ,

mit t ∈ ℝ.

Beispiel: Für p⃗ = (2, 2)ᵀ und q⃗ = (4, 1)ᵀ erhält man

(x, y)ᵀ = (2, 2)ᵀ + t(4 − 2, 1 − 2)ᵀ = (2 + 2t, 2 − t)ᵀ.

Jede Wahl von t liefert einen Geradenpunkt, etwa t = 2 oder t = −1.

Weitere Formen und Verallgemeinerung

Aus einer Parameterform mit Stützvektor p⃗ und Richtungsvektor u⃗ lässt sich ein weiterer Punkt der Geraden einfach bestimmen, indem man q⃗ = p⃗ + u⃗ wählt. Aus der allgemeinen Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Normalenform oder der hesseschen Normalform kann zunächst die zugehörige Parameterform ermittelt werden. Daraus lässt sich anschließend die Zweipunkteform gewinnen.

Eine verwandte Darstellung verwendet baryzentrische Koordinaten. Dabei wird eine Gerade durch

x⃗ = λp⃗ + μq⃗, λ, μ ∈ ℝ, λ + μ = 1,

beschrieben. λ und μ sind die normierten baryzentrischen Koordinaten eines Geradenpunkts. Sind beide Koordinaten positiv, liegt der Punkt zwischen den beiden vorgegebenen Punkten. Ist eine Koordinate negativ, liegt der Punkt außerhalb. Baryzentrische Koordinaten sind spezielle homogene affine Koordinaten; in der Zweipunkteform werden dagegen inhomogene affine Koordinaten verwendet.

Die Vektorform gilt nicht nur in der Ebene, sondern auch in drei- und höherdimensionalen Räumen. Im n-dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade aus allen Punkten mit Ortsvektoren

x⃗ = p⃗ + t(q⃗ − p⃗), t ∈ ℝ.

Dabei werden lediglich n-komponentige statt zweikomponentige Vektoren verwendet. Die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten lässt sich in höherdimensionalen Räumen analog beibehalten.