Liste der Zahlenarten

Grundidee und wichtigste Zahlenmengen

Zahlen können danach eingeteilt werden, wie sie dargestellt werden oder welche Eigenschaften sie besitzen. Die wichtigsten Zahlenmengen bauen teilweise aufeinander auf.

Natürliche Zahlen (N) sind die Zahlen zum Zählen, klassisch {1, 2, 3 …}. In anderen Definitionen gehört auch die 0 dazu, sodass {0, 1, 2, 3 …} natürliche Zahlen sind. Die natürlichen Zahlen mit der 0 werden auch volle Zahlen genannt.

Ganze Zahlen (Z) umfassen positive und negative Zählzahlen sowie 0: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}. Rationale Zahlen (Q) sind Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, wobei der Nenner nicht 0 sein darf. Jede ganze Zahl ist rational, aber nicht jede rationale Zahl ist ganz, zum Beispiel -2/9.

Reelle Zahlen (R) entsprechen Punkten auf einer Linie. Sie können positiv, negativ oder 0 sein. Alle rationalen Zahlen sind reell, aber nicht alle reellen Zahlen sind rational. Irrationale Zahlen sind genau die reellen Zahlen, die nicht rational sind.

Imaginäre Zahlen sind Zahlen, die als Produkt einer reellen Zahl mit der Quadratwurzel aus -1 entstehen. Die Zahl 0 ist sowohl reell als auch reinimaginär. Komplexe Zahlen (C) umfassen reelle Zahlen, imaginäre Zahlen sowie Summen und Differenzen aus reellen und imaginären Zahlen.

Hyperkomplexe Zahlen sind Erweiterungen von Zahlensystemen, zum Beispiel Quaternionen (H), Oktonionen (O) und weitere Varianten. P-adische Zahlen sind verschiedene Zahlensysteme, die aus Grenzwerten rationaler Zahlen konstruiert werden; die dabei verwendete Art des Grenzwerts unterscheidet sich von der Konstruktion der reellen Zahlen.

Darstellung von Zahlen

Zahlen können in verschiedenen Zahlensystemen und Schreibweisen dargestellt werden. Dezimal bezeichnet das standardisierte Hindu-Arabische-Zahlensystem mit der Basis 10.

Binär ist das Zahlensystem zur Basis 2 und verwendet nur die Ziffern 0 und 1; es wird zum Beispiel von Computern genutzt. Ternär hat die Basis 3 und verwendet 0, 1 und 2. Quaternär hat die Basis 4 und verwendet 0, 1, 2 und 3.

Hexadezimal ist ein Zahlensystem zur Basis 16. Es ist bei Designern und Programmierern von Computersystemen weit verbreitet, weil es binär codierte Werte menschenfreundlicher darstellen kann. Oktal hat die Basis 8 und wird gelegentlich von Computersystemdesignern und Programmierern verwendet. Duodezimal hat die Basis 12 und gilt wegen der vielen Teiler von 12 als praktisch. Sexagesimal hat die Basis 60; es wurde erstmals von den alten Sumerern im 3. Jahrtausend v. Chr. verwendet und an die alten Babylonier weitergegeben.

Neben Stellenwertsystemen gibt es weitere Schreibweisen. Die römische Zahlenschrift stammt von den antiken Römern und wird heute noch gelegentlich benutzt, meistens dort, wo keine Rechenoperationen nötig sind. Arabische Ziffern, auch indische oder indisch-arabische Ziffern genannt, sind die grundlegenden Zeichen einer Zahlschrift, in der Zahlen auf Grundlage eines Dezimalsystems dargestellt werden.

Eine Strichliste dient normalerweise zum Zählen von Dingen, die nur um kleine Beträge zunehmen und sich nicht sehr schnell ändern. Brüche stellen nicht-ganze Zahlen als Bruch zweier ganzer Zahlen dar, wobei der Nenner nicht 0 ist; dazu gehören auch unechte Brüche und gemischte Zahlen. Kettenbrüche entstehen durch einen wiederholten Prozess, bei dem eine Zahl als Summe ihres ganzzahligen Teils und des Kehrwerts einer weiteren Zahl geschrieben wird, die wiederum ähnlich zerlegt wird.

Die wissenschaftliche Notation schreibt sehr kleine und sehr große Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen. In der Wissenschaft zeigt sie auch die Genauigkeit einer Messung durch signifikante Stellen an. Die Pfeilschreibweise ermöglicht eine knappe Darstellung bestimmter extrem großer ganzer Zahlen, etwa der Grahamschen Zahl.

Vorzeichen und ganzzahlige Eigenschaften

Positive Zahlen sind reelle Zahlen, die größer als 0 sind. Negative Zahlen sind reelle Zahlen, die kleiner als 0 sind. Da 0 selbst kein Vorzeichen hat, gehört sie weder zu den positiven noch zu den negativen Zahlen.

Wenn 0 eingeschlossen werden kann, verwendet man besondere Begriffe: Nichtnegative Zahlen sind reelle Zahlen, die größer als oder gleich 0 sind; sie sind also entweder 0 oder positiv. Nicht-positive Zahlen sind reelle Zahlen, die kleiner als oder gleich 0 sind; sie sind also entweder 0 oder negativ.

Gerade und ungerade Zahlen beziehen sich auf ganze Zahlen. Eine ganze Zahl ist gerade, wenn sie ein Vielfaches von 2 ist. Ist sie kein Vielfaches von 2, ist sie ungerade.

Primzahlen sind positive ganze Zahlen größer als 1, die genau zwei Teiler haben: sich selbst und 1. Die Primzahlen bilden eine unendliche Folge, zum Beispiel 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 … Zusammengesetzte Zahlen sind positive ganze Zahlen, die keine Primzahlen sind.

Polygonale Zahlen sind Zahlen, die als Punkte in Form eines regelmäßigen Polygons dargestellt werden können. Dazu gehören unter anderem dreieckige, quadratische, fünfeckige, sechseckige, siebeneckige, achteckige, neuneckige, zehneckige, hendekagonale und zwölfeckige Zahlen. Außerdem gibt es viele bekannte ganzzahlige Folgen, darunter die Fibonacci-Zahlen, Fakultäten und vollkommene Zahlen; viele solcher Folgen sind in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences aufgezählt.

Algebraische Einteilung

Algebraische Zahlen sind Zahlen, die Nullstelle eines Polynoms in einer Variable mit rationalen Koeffizienten und Grad größer 0 sind. Eine Nullstelle ist ein Wert, bei dem das Polynom den Wert 0 annimmt.

Transzendente Zahlen sind Zahlen, die nicht Nullstelle eines vom Nullpolynom verschiedenen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Als Beispiele nennt der Artikel e und π.

Trigonometrische Zahlen sind Zahlen, die im Sinus oder Kosinus ein rationales Vielfaches von π sind. Quadratisch irrationale Zahlen sind Lösungen quadratischer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten. Eine solche Zahl ist algebraisch und kann als Summe einer rationalen Zahl und der Quadratwurzel einer rationalen Zahl ausgedrückt werden.

Konstruierbare Zahlen sind Zahlen, die eine Länge darstellen, die mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Sie bilden ein Unterfeld des Feldes der algebraischen Zahlen und umfassen die quadratischen Surds. Algebraisch-ganze Zahlen werden im Artikel als Wurzel eines Monoms mit ganzzahligen Koeffizienten beschrieben.

Unendliche und erweiterte Zahlensysteme

Transfinite Zahlen sind Zahlen, deren Betrag größer ist als der Betrag jeder endlichen Zahl. Ordinalzahlen können endlich oder unendlich sein und beschreiben Ordnungsarten von wohlgeordneten Mengen. Kardinalzahlen können ebenfalls endlich oder unendlich sein und dienen dazu, die Mächtigkeit einer Menge zu beziffern, also ihre Größe im Sinn der Anzahl ihrer Elemente.

Infinitesimalzahlen sind Zahlen, deren Betrag kleiner ist als der jeder reellen Zahl, die aber trotzdem nicht 0 sind. Sie wurden bei der anfänglichen Entwicklung der Analysis verwendet und kommen in der synthetischen Differentialgeometrie vor.

Hyperreelle Zahlen gehören zur Nichtstandardanalysis. Sie enthalten unendliche Zahlen und Infinitesimalzahlen, die bestimmte Eigenschaften der reellen Zahlen besitzen. Surreale Zahlen bilden ein Zahlensystem, das sowohl die hyperreellen Zahlen als auch die Ordinalzahlen beinhaltet.

Berechenbarkeit und Definierbarkeit

Berechenbare Zahlen sind reelle Zahlen, deren Ziffern von einem Algorithmus berechnet werden können. Ein Algorithmus ist ein eindeutig festgelegtes Rechenverfahren.

Periodische Zahlen werden im Artikel als Zahlen beschrieben, die als Integral einer algebraischen Funktion über einem algebraischen Bereich berechnet werden können. Definierbare Zahlen sind reelle Zahlen, die mit einer Formel erster Ordnung mit einer freien Variablen in der Sprache der Mengenlehre eindeutig definiert werden können.