Zahl

Begriff und Bedeutung

Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens. Sie entwickelten sich aus Vorstellungen von Größe und Anzahl. Beim Zählen beschreiben sie die Anzahl unterscheidbarer Objekte; bei einer Messung wird ein beobachteter Größenaspekt mit einer Zahl verbunden. Deshalb sind Zahlen sowohl für die Mathematik als auch für die empirischen Wissenschaften grundlegend.

„Zahl“ ist kein einheitlich definierter mathematischer Begriff, sondern ein Oberbegriff für verschiedene genau festgelegte Konzepte. Es gibt daher keine Menge aller Zahlen. Stattdessen untersucht die Mathematik bestimmte Zahlbereiche, deren Elemente und Verknüpfungen feste Eigenschaften besitzen. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts werden Zahlen rein logisch und unabhängig von Vorstellungen über Raum und Zeit definiert.

Bei einer axiomatischen Definition werden Objekte und Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften durch Axiome vorausgesetzt. Bei einer mengentheoretischen Definition werden Zahlbereiche aus den Axiomen der Mengenlehre hergeleitet, heute häufig aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC). John von Neumann definierte beispielsweise die natürlichen Zahlen als kleinste induktive Menge; ihre Existenz wird durch das Unendlichkeitsaxiom gesichert. Richard Dedekind und Giuseppe Peano legten wichtige Grundlagen für die Axiomatisierung der natürlichen Zahlen.

Zahlen sind von ihren Bezeichnungen zu unterscheiden: Ziffern sind einzelne Zahlzeichen, Zahlschriften sind regelgeleitete Schreibweisen, Zahlwörter oder Numerale sind sprachliche Benennungen, und Nummern sind Identifikatoren. Eine Nummer muss deshalb nicht selbst eine Zahl als mathematisches Objekt sein.

Verknüpfungen und Rechnen

Zahlbereiche werden zusammen mit ihren Beziehungen und Operationen betrachtet. Dazu gehören die Grundrechenarten, Ordnungsbeziehungen wie „kleiner“ und „größer“, die Teilbarkeitsrelation sowie Eigenschaften wie „Primzahl“. Diese Verknüpfungen prägen den jeweiligen Zahlbegriff: Zu den natürlichen Zahlen gehört beispielsweise wesentlich ihre Ordnung, etwa 1 < 5.

Rechnen bedeutet, solche Verknüpfungen auf konkreten Darstellungen von Zahlen auszuwerten. Bei der schriftlichen Addition werden die Ziffern eines Stellenwertsystems nach einem festen Verfahren verarbeitet, um die Darstellung der Summe zu erhalten. Informatik und numerische Mathematik entwickeln und untersuchen derartige Verfahren; viele davon sind für Computer grundlegend.

Die abstrakte Algebra untersucht allgemeinere Strukturen, in denen Verknüpfungen bestimmte Eigenschaften erfüllen. Die Zahlentheorie behandelt unter anderem Existenz, Häufigkeit und Verteilung von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften. Transfinite, also in bestimmten Bedeutungen unendliche Zahlen, gehören dagegen zur Mengenlehre. Formal werden Verknüpfungen, Beziehungen und Eigenschaften als Relationen oder Prädikate aufgefasst; Funktionen sind darin eingeschlossen.

Grundlegende Zahlbereiche

Die Zahlbereiche wurden schrittweise erweitert, damit zuvor nicht immer mögliche Operationen oder Lösungen allgemeiner behandelt werden können.

• Die natürlichen Zahlen ℕ sind 1, 2, 3, … oder – je nach Definition – 0, 1, 2, 3, …. Sie dienen zum Zählen. Es gibt ein kleinstes Element, jedes Element besitzt einen Nachfolger, und durch wiederholte Nachfolgerbildung erreicht man jede natürliche Zahl. Addition und Multiplikation führen wieder zu natürlichen Zahlen. Beide Operationen sind assoziativ und kommutativ; außerdem gilt das Distributivgesetz a·(b+c)=a·b+a·c. Die Ordnung ist mit den Operationen verträglich: Aus m ≤ n folgt m+k ≤ n+k und m·k ≤ n·k.

• Die ganzen Zahlen ℤ ergänzen die natürlichen Zahlen um negative Zahlen. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es das additive Inverse −n mit n+(−n)=0. Dadurch wird die Subtraktion möglich: n−m bedeutet n+(−m). ℤ besitzt kein kleinstes Element; jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger. Die ganzen Zahlen bilden einen Ring.

• Die rationalen Zahlen ℚ erweitern ℤ um die Division durch von null verschiedene Zahlen. Zu z ≠ 0 gehört das multiplikative Inverse 1/z mit z·(1/z)=1. Rationale Zahlen haben die Form x/y, wobei y ≠ 0 gilt. Brüche x/y und (t·x)/(t·y) werden für t ≠ 0 als dieselbe Zahl betrachtet; darauf beruhen Erweitern und Kürzen. ℚ ist ein geordneter Körper. In der deutschen Schulmathematik kommt außerdem ℬ := ℚ₀⁺ für die Menge der positiven Bruchzahlen vor.

• Algebraische Erweiterungen entstehen, indem man einem Zahlbereich Nullstellen von Polynomen hinzufügt und Addition sowie Multiplikation wohldefiniert fortsetzt. Fügt man ℚ die Nullstellen aller nicht konstanten Polynome mit rationalen Koeffizienten hinzu, erhält man die algebraischen Zahlen. Ganzalgebraische Zahlen entstehen aus den Nullstellen aller nicht konstanten Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Koeffizient bei der höchsten Potenz 1 ist.

Reelle und komplexe Zahlen

Die reellen Zahlen ℝ schließen Lücken der rationalen Zahlen. Bei vielen stetigen Problemen gibt es rationale Näherungen, die beliebig genau und untereinander immer näher werden, obwohl die gesuchte Lösung nicht rational ist. Eine solche Lösung wird als reelle Zahl erfasst. Gleichwertig kann man fordern: Für jede nach oben beschränkte Menge rationaler Zahlen gibt es unter den reellen oberen Schranken eine kleinste. Reelle Zahlen können auch durch Folgen rationaler Zahlen definiert werden, die sich einander annähern.

Diese Abgeschlossenheit gegenüber Näherungsprozessen heißt Vollständigkeit. Sie ermöglicht Grenzwerte und damit zentrale Begriffe der Analysis wie Ableitung und Integral sowie Funktionen wie Sinus, Cosinus und Tangens. ℝ ist ein geordneter Körper und überabzählbar; deshalb kann nicht jede reelle Zahl durch einen endlichen sprachlichen Ausdruck eindeutig beschrieben werden. Eine Erweiterung unter Erhaltung der Ordnungseigenschaften würde das archimedische Axiom verletzen und strikt positive „unendlich kleine“ Zahlen einführen.

Die komplexen Zahlen ℂ lösen auch Polynomgleichungen ohne reelle Lösung. So ist x²+1 für jedes reelle x positiv. Man ergänzt daher die imaginäre Einheit i mit i²+1=0. Jede komplexe Zahl besitzt eindeutig die Form a+b·i mit reellen Zahlen a und b. In ℂ besitzt jedes nicht konstante Polynom eine Nullstelle; ℂ ist der algebraische Abschluss von ℝ. Grenzwertprozesse bleiben möglich, eine mit den Rechenoperationen verträgliche Ordnung wie bei ℝ gibt es jedoch nicht. Geometrisch bildet ℂ eine Ebene beziehungsweise einen zweidimensionalen Vektorraum über ℝ. Die Funktionentheorie untersucht analytische Funktionen über den komplexen Zahlen.

Unendliche und weitere Zahlkonzepte

Kardinal- und Ordinalzahlen sind mengentheoretische Konzepte. Kardinalzahlen verallgemeinern die Anzahl der Elemente von endlichen auf unendliche Mengen; bei endlichen Mengen entsprechen sie natürlichen Zahlen. Ordinalzahlen verallgemeinern die Position eines Elements in einer wohlgeordneten Menge. Kardinalzahlen werden heute als besondere Ordinalzahlen definiert. Für beide sind Ordnung, Addition, Multiplikation und Potenzierung festgelegt; auf natürliche Zahlen eingeschränkt stimmen diese Operationen mit den üblichen überein. Die Gesamtheiten aller Ordinalzahlen und aller Kardinalzahlen sind echte Klassen und keine Mengen.

Hyperreelle Zahlen verallgemeinern ℝ. In der Nichtstandardanalysis erlauben sie Definitionen von Stetigkeit und Ableitung ohne Grenzwerte. Hyperkomplexe Zahlen verallgemeinern die Sicht auf ℂ als reellen Vektorraum mit zusätzlicher Multiplikation. Meist sind sie endlichdimensionale Vektorräume über ℝ, in die sich die reellen Zahlen einbetten lassen.

Weitere Konzepte sind p-adische Zahlen, die rationale Zahlen unter Einbeziehung unendlich vieler „Vorkomma-Stellen“ verallgemeinern und in der Zahlentheorie verwendet werden, sowie surreale Zahlen, die hyperreelle Zahlen und Ordinalzahlen verallgemeinern und in der Spieltheorie auftreten. Auch Elemente von Restklassenringen werden mitunter Zahlen genannt; solche Ringe können als Einschränkungen der ganzen Zahlen auf endlich viele Elemente mit passend definierter Arithmetik verstanden werden.

Darstellung und Verwendung

Eine Zahl ist nicht mit ihrer Darstellung identisch. Zahlen können durch Zahlwörter, Ziffernfolgen, Formeln oder andere regelgeleitete Zeichen bezeichnet werden. Die Wahl der Darstellung beeinflusst die Rechenverfahren. Stellenwertsysteme eignen sich für systematisches Rechnen und werden in Computern als Dualsystem verwendet.

Dieselbe Zahl kann verschieden dargestellt werden: Die Zahl Vier heißt auf Deutsch „vier“, erscheint als Strichliste ||||, indisch-arabisch als 4, römisch als IV oder als Formel 1+1+1+1. Die rationale Zahl 1/2 wird als Bruch geschrieben; √2 bezeichnet eine Lösung von x²=2. Eine komplexe Zahl kann beispielsweise als −4/3+(9/2)·i erscheinen. Im Dualsystem wird die natürliche Zahl Neun als 1001 dargestellt, entsprechend 1·2·2·2+0·2·2+0·2+1. Die Dualdarstellung 0,101 entspricht 0,625.

Nicht jede reelle Zahl besitzt eine endliche sprachliche Beschreibung: Endliche Ausdrücke gibt es nur abzählbar viele, die reellen Zahlen sind jedoch überabzählbar. Formal kann jede reelle Zahl als z+Σᵢ₌₁∞ aᵢ·2⁻ⁱ mit z ∈ ℤ und aᵢ ∈ {0,1} dargestellt werden; im Allgemeinen lässt sich die unendliche Folge der Koeffizienten aber nicht endlich angeben.

Umgekehrt können Zahlen Objekte bezeichnen oder Informationen kodieren. Bei einer Nummerierung erhält jedes Objekt eine meist natürliche Zahl; dadurch werden Benennung, Ordnung und ein schrittweises Durchgehen möglich. Reine Ziffernfolgen wie Versicherungs- oder Steuernummern sind dennoch häufig nur Identifikatoren. Digitale Binärdaten können als natürliche Zahlen im Dualsystem interpretiert werden; arithmetische Operationen auf solchen Kodierungen werden unter anderem in Kryptographie und Datenkompression eingesetzt. In der Mathematik identifizieren Gödelnummern logische Formeln oder Algorithmen. Komplexe Zahlen können Drehstreckungen in der Ebene darstellen, Quaternionen Drehungen im dreidimensionalen Raum und surreale Zahlen Spielsituationen.