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Imaginäre Zahl
Eine (rein) imaginäre Zahl (auch Imaginärzahl, lat. numerus imaginarius) ist eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nichtpositive reelle Zahl ist.
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Grundidee und Definition
Eine rein imaginäre Zahl ist eine spezielle komplexe Zahl. Sie kann auf zwei äquivalente Arten beschrieben werden: Ihr Quadrat ist eine nichtpositive reelle Zahl, oder ihr Realteil ist null. Jede imaginäre Zahl ist ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit i.
Die imaginäre Einheit i ist eine nichtreelle Zahl mit der grundlegenden Eigenschaft i^2 = -1. Man schreibt manchmal i = √(-1), dabei muss man aber vorsichtig sein: Die Wurzelgesetze der reellen Zahlen dürfen nicht naiv auf komplexe Zahlen übertragen werden, weil sonst ein Widerspruch wie -1 = 1 entstehen kann.
Darstellung und Bezeichnungen
Eine imaginäre Zahl hat die Form b · i, wobei b eine reelle Zahl ist. Umgekehrt ist jede imaginäre Zahl ein solches reelles Vielfaches von i.
In der Gaußebene, also der zeichnerischen Darstellung komplexer Zahlen, liegen die imaginären Zahlen auf der mit Im bezeichneten Achse. Diese Gerade schneidet die reelle Zahlengerade Re bei der gemeinsamen Zahl 0 rechtwinklig.
In der Elektrotechnik wird für die imaginäre Einheit oft j statt i verwendet, damit keine Verwechslung mit dem Momentanwert i(t) der elektrischen Stromstärke entsteht. Diese Bezeichnung geht auf Charles P. Steinmetz zurück und ist nach DIN 1302, DIN 5483-3 und ISO 80000-2 erlaubt.
Warum imaginäre Zahlen gebraucht werden
Imaginäre Zahlen ermöglichen Lösungen von Gleichungen, die im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung haben. Die Gleichung x^2 - 4 = 0 hat die beiden reellen Lösungen +2 und -2.
Die Gleichung x^2 + 4 = 0 hat dagegen keine reelle Lösung, weil Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Es gibt also keine reelle Zahl, deren Quadrat -4 ist. In den imaginären Zahlen hat die Gleichung aber zwei Lösungen: +2i und -2i.
Eine Beschäftigung mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurde außerdem bei der Lösung kubischer Gleichungen im Fall des Casus irreducibilis nötig.
Rechnen mit imaginären Zahlen
Summen und Differenzen zweier imaginärer Zahlen sind wieder imaginär. Für reelle Zahlen b und c gilt zum Beispiel: bi - ci = (b - c) · i.
Produkte und Quotienten zweier imaginärer Zahlen sind dagegen reell. Beim Produkt gilt: bi · ci = bc · i^2 = -bc. Der Grund ist die Grundregel i^2 = -1.
Die Potenzen von i wiederholen sich in einem Viererzyklus: i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i und i^4 = 1. Allgemein gilt für alle n ∈ ℤ: i^(4n) = 1, i^(4n+1) = i, i^(4n+2) = -1, i^(4n+3) = -i und i^(2n) = (i^2)^n = (-1)^n. Außerdem ist i^(-1) = 1/i = -i.
Zusammenhang mit komplexen Zahlen
Die imaginäre Einheit i erweitert den Körper der reellen Zahlen zum Körper der komplexen Zahlen. Heute versteht man imaginäre Zahlen als besondere komplexe Zahlen.
Jede komplexe Zahl lässt sich als Summe aus einer reellen Zahl und einem reellen Vielfachen von i schreiben: a + i · b mit reellen Zahlen a und b. Dabei ist a der Realteil und b der Imaginärteil.
Algebraisch wird i als eine Nullstelle des Polynoms x^2 + 1 definiert; die zweite Nullstelle ist -i. Wenn der komplexe Zahlenbereich über die Struktur von ℝ^2 definiert wird, wählt man üblicherweise i := (0,1)^T statt des ebenfalls möglichen i := (0,-1)^T.
Für eine komplexe Zahl mit Realteil 0 gilt: (bi)^2 = -b^2. Das erklärt, warum das Quadrat einer imaginären Zahl eine nichtpositive reelle Zahl ist.
Erweiterungen und Euler-Formel
Über die komplexen Zahlen hinaus gibt es hyperkomplexe Zahlen mit mehreren imaginären Einheiten. Bei den vierdimensionalen Quaternionen treten drei imaginäre Einheiten auf, bei den achtdimensionalen Oktonionen sieben.
Die eulersche Formel lautet e^(ix) = cos x + i sin x. Setzt man x = π, erhält man die eulersche Identität e^(iπ) = -1. Sie stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen der imaginären Einheit i, der eulerschen Zahl e, der Kreiszahl π und der reellen Einheit 1 her.