Quaternion

Grundidee und Aufbau

Quaternionen sind ein Zahlenbereich, der die reellen Zahlen erweitert, ähnlich wie die komplexen Zahlen, aber mit drei imaginären Einheiten statt einer. Jede Quaternion hat eindeutig die Form x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k mit reellen Zahlen x0, x1, x2, x3. Dadurch bilden die Quaternionen einen vierdimensionalen reellen Vektorraum mit der Basis 1, i, j, k. Der Anteil x0 heißt Realteil oder Skalarteil, der Anteil x1 i + x2 j + x3 k heißt Imaginärteil oder Vektorteil.

Die wichtigsten Multiplikationsregeln sind die Hamilton-Regeln: i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. Daraus folgen unter anderem ij = k, jk = i, ki = j, aber in umgekehrter Reihenfolge ji = -k, kj = -i, ik = -j. Deshalb ist die Multiplikation nicht kommutativ: Im Allgemeinen gilt xy ≠ yx. Trotzdem gelten Assoziativgesetz und Distributivgesetze. Außerdem besitzt jede von 0 verschiedene Quaternion ein multiplikatives Inverses. Die Quaternionen bilden daher einen Schiefkörper, auch Divisionsring genannt.

Rechnen mit Quaternionen

Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise. Für x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k und y = y0 + y1 i + y2 j + y3 k gilt x + y = (x0 + y0) + (x1 + y1)i + (x2 + y2)j + (x3 + y3)k.

Die Multiplikation ergibt sich aus Ausmultiplizieren und den Hamilton-Regeln. In Vektorschreibweise ist sie besonders übersichtlich: Identifiziert man x mit (x0, x⃗) und y mit (y0, y⃗), dann gilt xy = (x0y0 - x⃗ · y⃗, x0y⃗ + x⃗y0 + x⃗ × y⃗). Dabei ist · das Skalarprodukt und × das Kreuzprodukt der Vektorteile. Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn das Kreuzprodukt ihrer Vektorteile 0 ist, also wenn diese Vektorteile linear abhängig sind.

Die Menge Q8 = {1, i, j, k, -1, -i, -j, -k} bildet mit der Hamilton-Multiplikation die Quaternionengruppe. Weil die Multiplikation nicht kommutativ ist, vermeidet man bei allgemeinen Quaternionen Bruchschreibweisen wie y/x; Division wird als Multiplikation mit einem Inversen behandelt.

Konjugation, Norm und Inverses

Zu x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k gehört die konjugierte Quaternion x̄ = x0 - x1 i - x2 j - x3 k. Daraus folgen Re x = 1/2(x + x̄) und Im x = 1/2(x - x̄). Ist x = x̄, dann ist x reell; ist x = -x̄, dann ist x eine reine Quaternion, also eine Quaternion mit Skalarteil 0.

Das Skalarprodukt zweier Quaternionen als Vektoren im R4 ist <x,y> = x0y0 + x1y1 + x2y2 + x3y3. Die Norm ist Norm(x) = <x,x> = x0^2 + x1^2 + x2^2 + x3^2 = x x̄ = x̄ x. Der Betrag ist |x| = sqrt(x0^2 + x1^2 + x2^2 + x3^2). Er ist multiplikativ: |xy| = |x| |y|.

Für x ≠ 0 ist die Norm positiv, und das Inverse lautet x^-1 = x̄/(x x̄). Es erfüllt xx^-1 = x^-1x = 1. Eine Einheitsquaternion hat Betrag 1; für sie gilt |x| = 1 genau dann, wenn x̄ = x^-1. Die Einheitsquaternionen bilden eine Gruppe und können geometrisch als Einheits-3-Sphäre S3 im vierdimensionalen euklidischen Raum verstanden werden.

Komplexe Zahlen und Funktionen

Die komplexen Zahlen lassen sich auf viele Arten in die Quaternionen einbetten. Jede reine Einheitsquaternion ε mit ε^2 = -1 kann als imaginäre Einheit dienen. Dann wird u + v i_C auf u + vε abgebildet. Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen komplexen Ebene, und zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn sie in einer gemeinsamen solchen Einbettung liegen.

Eine Einheitsquaternion x° ≠ ±1 kann in Polardarstellung geschrieben werden als x° = cos φ + ε sin φ = exp(εφ), wobei φ = arccos(Re x°) und ε eine reine Einheitsquaternion ist. Allgemeiner kann jede nicht-reelle Quaternion als x = |x|(cos φ + ε sin φ) dargestellt werden. Diese Form ist analog zur Polarform komplexer Zahlen, aber Rechenregeln wie xy = |x||y| exp(x′ + y′) gelten nur, wenn x und y kommutieren.

Für eine nicht-reelle Quaternion x gilt exp(x) = exp(Re x)(cos |x⃗| + (x⃗/|x⃗|) sin |x⃗|). Der natürliche Logarithmus ist ln(x) = ln |x| + (x⃗/|x⃗|) arccos(Re x/|x|). Wegen der Nichtkommutativität ist eine allgemeine quaternionische Analysis schwieriger als die reelle oder komplexe Analysis; insbesondere muss man linke und rechte Differenzenquotienten unterscheiden.

Drehungen und Anwendungen

Eine wichtige Anwendung der Quaternionen ist die Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum. Reine Quaternionen werden dabei mit Vektoren im R3 identifiziert. Für eine Einheitsquaternion q ist die Abbildung x ↦ qxq^-1, beziehungsweise x ↦ qxq̄, auf den reinen Quaternionen eine Drehung um den Ursprung.

Ist q = cos(α/2) + ε sin(α/2) mit einer reinen Einheitsquaternion ε, dann beschreibt q eine Drehung um die Achse ε mit Drehwinkel α. Die Quaternionen q und -q beschreiben dieselbe Drehung; deshalb ist die Zuordnung von Einheitsquaternionen zu Drehungen eine 2:1-Überlagerung der Drehgruppe SO(3). Die Hintereinanderausführung von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen: ρq1 ∘ ρq2 = ρq1q2.

Diese Darstellung wird in interaktiver Computergrafik, insbesondere bei Computerspielen, bei Simulationen, bei der Steuerung von Satelliten und in der Programmierung von Industrierobotern verwendet. Gegenüber Drehmatrizen können Quaternionen bei der Kombination vieler Drehungen weniger Rechenoperationen benötigen. In der Mathematik liefern Quaternionen außerdem eine Sicht auf den Vier-Quadrate-Satz: Die Multiplikativität des Betrags erklärt, warum das Produkt zweier Summen von vier Quadraten wieder als Summe von vier Quadraten geschrieben werden kann.

Weitere Strukturen

Quaternionen lassen sich auch als Matrizen darstellen. Eine Darstellung benutzt komplexe 2×2-Matrizen; dabei entspricht die konjugierte Quaternion der adjungierten Matrix und die Norm der Determinante. Eine andere Darstellung benutzt reelle 4×4-Matrizen; hier entspricht die Konjugation der Transposition und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante.

Als Algebra sind die Quaternionen eine vierdimensionale zentraleinfache Algebra über R mit Zentrum R. Bis auf Isomorphie gibt es genau vier endlichdimensionale R-Algebren ohne Nullteiler: R, C, H und die Cayleyschen Oktaven O. Außerdem gilt H ⊗R C ≅ M2(C) und H ⊗R H ≅ M4(R).

Die Konstruktion kann auch über anderen Grundkörpern betrachtet werden, etwa über den rationalen Zahlen Q. Dann erhält man Quaternionen mit rationalen Koeffizienten. Über Q spielen Hurwitzquaternionen als Ganzheitsring eine Rolle. Ähnliche Konstruktionen heißen oft hyperkomplexe Zahlen; ein Beispiel sind die achtdimensionalen Cayley-Zahlen oder Oktaven, deren Multiplikation weder kommutativ noch assoziativ ist.