Dezimalsystem

Grundidee und Bedeutung

Das Dezimalsystem ist das heute international übliche Zahlensystem. Es ist ein Stellenwertsystem zur Basis zehn: Es verwendet zehn Ziffern, und der Wert einer Ziffer hängt zusätzlich von ihrer Position im Zahlzeichen ab. Zahlzeichen entstehen aus den Dezimalziffern 0 bis 9 und ihrer Aneinanderreihung. Damit lassen sich ganze Zahlen und – mit einem Dezimalzeichen – auch nicht-ganzzahlige Zahlen schreiben. Andere Bezeichnungen sind Zehnersystem und dekadisches System; in älteren Veröffentlichungen kommt auch Denärsystem vor.

Im deutschsprachigen Raum bestimmt das Dezimalsystem das übliche Denken und Schreiben mit Zahlen. In der elektronischen Datenverarbeitung werden daneben besonders das Dualsystem (Binärsystem) und das Sedezimalsystem (Hexadezimalsystem) verwendet. Traditionelle chinesische und japanische Dezimalsysteme haben neben Ziffern für 1 bis 9 eigene Zeichen für Zehnerpotenzen; diese werden jeweils mit einer Zahlziffer kombiniert. Diese Schreibweise wird zunehmend durch die indische ersetzt.

Dass die Basis zehn häufig gewählt wurde, wird mit den zehn Fingern als natürlicher Zähl- und Rechenhilfe erklärt. Vorschläge seit dem 19. Jahrhundert, stattdessen das Duodezimalsystem mit Basis zwölf einzuführen, blieben erfolglos.

Ziffern und Stellen

Verwendet werden die zehn arabischen Ziffern 0 (null), 1 (eins), 2 (zwei), 3 (drei), 4 (vier), 5 (fünf), 6 (sechs), 7 (sieben), 8 (acht) und 9 (neun). Die europäischen Ziffernzeichen stammen aus dem Maghreb; im Nahen Osten und in indischen Schriften haben die Zeichen andere Formen.

Ziffern werden direkt aneinandergereiht. Trennzeichen können Zifferngruppen lesbarer machen oder bei nicht-ganzen Zahlen den ganzzahligen vom gebrochenen Teil abgrenzen. Jede Ziffer belegt eine Stelle: Einerstelle, Zehnerstelle, Hunderterstelle und so weiter. Diese Stellenordnung ermöglicht etwa bei der schriftlichen Addition, Einer unter Einer und Zehner unter Zehner zu schreiben.

Die Null ist entscheidend, weil sie eine unbesetzte Stelle sichtbar macht. Das Zahlwort „zweihundertfünf“ wird als „205“ geschrieben: Die 0 besetzt die fehlende Zehnerstelle. Bei „25“ stünde die 2 dagegen auf der Zehnerstelle und nicht auf der Hunderterstelle.

Darstellung und Wert einer Dezimalzahl

Im deutschen Sprachraum wird eine Dezimalzahl meist als z_m z_(m-1) … z_0,z_(-1) z_(-2) … z_(-n) geschrieben, wobei jedes z_i eine der zehn Ziffern ist. Der Ziffernwert ist der Wert der Ziffer selbst; der Stellenwert wird durch ihre Stelle bestimmt. Beginnt die Zählung an der Einerstelle mit i = 0, hat die i-te Stelle den Stellenwert 10^i.

Bei natürlichen Zahlen steht z_0 rechts auf der Einerstelle, davor z_1 auf der Zehnerstelle und z_2 auf der Hunderterstelle. Soll die höchstwertige Stelle signifikant sein, gilt z_m ≠ 0. Für positive rationale Zahlen folgt nach der Einerstelle ein Dezimalzeichen und dann stehen die Nachkommastellen z_(-1) bis z_(-n). Im deutschsprachigen Raum ist das Dezimalzeichen ein Komma. Ist der Absolutwert einer Zahl kleiner als 1, wird links vom Komma immer eine 0 geschrieben.

Der Zahlenwert ergibt sich aus der Summe aller Ziffernwerte multipliziert mit ihren Stellenwerten. Mit Vorzeichen lautet dies: Z = ∑(i=-n bis m) z_i · 10^i > 0 beziehungsweise Z = -∑(i=-n bis m) z_i · 10^i < 0. Ein fehlendes Vorzeichen bedeutet Plus. Beispiel: 16,25 = 1·10^1 + 6·10^0 + 2·10^(-1) + 5·10^(-2), also 1·10 + 6·1 + 2·0,1 + 5·0,01.

Lange Ziffernfolgen können in Dreiergruppen gegliedert werden. Die ISO empfiehlt dafür ein geschütztes schmales Leerzeichen statt eines Punktes, weil der Punkt international auch Dezimalzeichen sein kann. So wird 76543210,9876 zu 76 543 210,987 6; in Teilen der Schweiz wird 76'543'210,9876 geschrieben.

Dezimalbrüche und andere Zahlensysteme

Die Umrechnung eines gewöhnlichen Bruchs in eine Dezimalzahl sowie die entsprechende Darstellung reeller Zahlen heißt Dezimalbruchentwicklung. Eine positive rationale Zahl kann in einen ganzzahligen Teil und einen echten Bruch zerlegt werden. So gilt 65/4 = 16 + 1/4 und 1/4 = 2/10 + 5/100; daraus folgt 65/4 = 16,25.

Bei rationalen Zahlen ist die Ziffernfolge periodisch oder endet in Nullen. Besteht sie ab einer Stelle nur noch aus Nullen, bricht die Dezimalbruchentwicklung ab; diese Nullen dürfen weggelassen werden. Man spricht dann von einem endlichen Dezimalbruch. Ein unendlicher Dezimalbruch 0,a_1a_2a_3… bezeichnet den Wert der Reihe ∑(i=1 bis ∞) a_i · 10^(-i). Für periodische Dezimalbrüche gibt es eine Kurzschreibweise.

Irrationale Zahlen besitzen eine unendliche, nicht-periodische Nachkommaziffernfolge. Jede endliche Dezimaldarstellung ist daher nur eine Annäherung, nie exakt. Exakt lassen sie sich nur mit zusätzlichen Symbolen oder Ausdrücken angeben, etwa √2, π, e, unendlichen Reihen oder Grenzwerten. Methoden zur Umrechnung vom und in das Dezimalsystem werden bei Stellenwertsystemen und etwa beim Dual-, Ternär-, Oktal-, Duodezimal- und Hexadezimalsystem behandelt.

Historische Entwicklung

Die Geschichtsdarstellung des Artikels ist als grundsätzlich überarbeitungsbedürftig markiert. Ein früher Hinweis auf eine dezimale Ordnung ist ein Hortfund von Oberding aus der frühen Bronzezeit um 1650 v. Chr.: Von 791 weitgehend standardisierten Spangenbarren aus Kupfer waren die meisten in Gruppen von 10 mal 10 Bündeln abgelegt.

Ägypter, Minoer, Griechen und Römer nutzten dezimale additive Zahlschriften, jedoch noch kein Stellenwertsystem und kein Nullzeichen. Schriftliche Zahlen dienten vor allem als Gedächtnisstütze; gerechnet wurde mit Kopfrechnen, Fingerrechnen oder Rechensteinen auf Rechenbrettern. Diese erlaubten eine Stellenwertdarstellung durch Spalten für Einer, Zehner und Hunderter. Addition und Subtraktion wurden dadurch erleichtert, Multiplikation und Division blieben vergleichsweise kompliziert.

Die Babylonier entwickelten zuerst ein vollwertiges Stellenwertsystem, allerdings zur Basis 60, vermutlich vor dem 4. Jahrhundert v. Chr. ergänzt um ein Nullzeichen. Seine Folgen zeigen sich noch bei 60 Minuten je Stunde und 60 Sekunden je Minute. In China entstand vermutlich einige Jahrhunderte vor der Zeitenwende ein dezimales Stellenwertsystem ohne Null; seit dem 8. Jahrhundert wurde es unter indischem Einfluss um ein Nullzeichen ergänzt.

Die heutigen indo-arabischen Ziffern gehen auf Indien zurück. Sicher datierbare Zeugnisse für Ziffern 1 bis 9 und einen Punkt oder kleinen Kreis für Null gibt es seit dem 7. Jahrhundert in Südostasien und seit dem 9. Jahrhundert in Indien; angenommen wird eine Nutzung in Indien bereits im 5. Jahrhundert. Über den arabischen Raum gelangte das System nach Europa. Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verfasste um 825 eine Einführung in das Rechnen mit indischen Ziffern. Seit dem 12. Jahrhundert förderten lateinische Bearbeitungen den Durchbruch; in Italien verbreitete Leonardo Fibonacci das Verfahren seit dem 13. Jahrhundert weiter. Gegenüber römischen Zahlen setzten sich die indo-arabischen Ziffern für praktische Schreibzwecke erst seit der frühen Neuzeit allmählich durch. Nachkommastellen sind erstmals bei Giovanni Bianchini um die Mitte des 15. Jahrhunderts nachgewiesen; das Dezimalzeichen verbreitete sich gegen Ende des 16. Jahrhunderts durch Simon Stevin und Christophorus Clavius.