Rationale Zahl

Grundidee und Einordnung

Rationale Zahlen sind reelle Zahlen, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \mathbb{Q} bezeichnet. Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen, bei dem Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner nicht 0 ist.

Die rationalen Zahlen liegen innerhalb der reellen Zahlen \mathbb{R}. Sie enthalten die ganzen Zahlen \mathbb{Z}, und diese enthalten wiederum die natürlichen Zahlen \mathbb{N}. Eine ganze Zahl n kann als rationale Zahl \frac{n}{1} aufgefasst werden.

In der Schulmathematik heißen die positiven rationalen Zahlen auch Bruchzahlen oder gebrochene Zahlen. Mit ihnen wird Division auch dann möglich, wenn sie in den natürlichen oder ganzen Zahlen nicht lösbar ist, zum Beispiel 3:4. Der Bruch \frac{3}{4} kann dabei die Division 3:4, das Ergebnis dieser Division als eigene Zahl „drei Viertel“ oder den Auftrag „Teile in 4 Teile, nimm 3“ bedeuten.

Eine reelle Zahl, die nicht rational ist, heißt irrational. Beispiele aus dem Artikel sind \sqrt{2}, \pi, \mathrm{e} und \Phi. Rationale Zahlen haben eine endliche oder unendlich periodische Dezimalbruchentwicklung; irrationale Zahlen haben eine unendlich nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Da \mathbb{Q} abzählbar ist, \mathbb{R} aber überabzählbar, sind „fast alle“ reellen Zahlen irrational.

Mathematische Definition

Die genaue Definition der rationalen Zahlen beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen. Man beginnt mit allen geordneten Paaren (a,b) ganzer Zahlen mit b\neq 0. Diese Paare selbst sind noch nicht die rationalen Zahlen, sondern werden wie Brüche behandelt.

Addition und Multiplikation werden für solche Paare so definiert: (a,b)+(c,d):=(a\cdot d+b\cdot c,\,b\cdot d) (a,b)\cdot(c,d):=(a\cdot c,\,b\cdot d) Das entspricht den bekannten Rechenregeln der Bruchrechnung.

Damit verschiedene Bruchdarstellungen derselben Zahl zusammenfallen, etwa \frac{2}{3} und \frac{4}{6}, definiert man eine Äquivalenzrelation: (a,b)\sim(c,d) :\!\iff a\cdot d=b\cdot c. Äquivalente Paare gehören also zur selben Äquivalenzklasse. Diese Äquivalenzklassen sind die rationalen Zahlen.

Eine rationale Zahl \frac{a}{b} ist damit die Menge aller Paare (c,d), die zu (a,b) äquivalent sind. Der Bruchstrich trennt Zähler und Nenner; der Nenner ist stets von 0 verschieden und kann positiv gewählt werden. Bevorzugt wird der maximal gekürzte Bruch mit positivem Nenner. Dabei steht \operatorname{ggT}(a,b) für den größten gemeinsamen Teiler von a und b.

Ordnung und Vergleich

Auf den rationalen Zahlen wird eine Ordnungsrelation definiert, mit der man Brüche vergleichen kann. Für zwei rationale Zahlen gilt nach der Definition: \frac{a}{b}<\frac{c}{d} :\Longleftrightarrow a\operatorname{sgn}(b)\operatorname{abs}(d)<\operatorname{abs}(b)c\operatorname{sgn}(d). Dabei beruhen die Vergleichszeichen < sowie die Funktionen \operatorname{sgn} und \operatorname{abs} auf der Ordnung der ganzen Zahlen.

Diese Definition hängt nicht davon ab, ob die Brüche gekürzt oder erweitert wurden. Sie ist außerdem mit der bekannten Ordnung der ganzen Zahlen vereinbar: Wenn ganze Zahlen als \frac{n}{1} geschrieben werden, stimmt die Ordnung in \mathbb{Z} mit der Ordnung in \mathbb{Q} überein.

Für zwei rationale Zahlen gilt genau eine von drei Möglichkeiten: \frac{a}{b}<\frac{c}{d}, \frac{a}{b}\sim\frac{c}{d} oder \frac{c}{d}<\frac{a}{b}. Diese Eigenschaft heißt Trichotomie. Damit ist (\mathbb{Q},<) eine total geordnete Menge. Auf dieser Ordnungsrelation basiert auch die Konstruktion der reellen Zahlen mittels Dedekindscher Schnitte.

Wichtige Eigenschaften

Die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen als Teilmenge, weil jede ganze Zahl z\in\mathbb{Z} als \frac{z}{1} dargestellt werden kann. Der Körper \mathbb{Q} ist der kleinste Körper, der die natürlichen Zahlen \mathbb{N} enthält. Er ist der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen \mathbb{Z}. Als Primkörper der reellen Zahlen ist \mathbb{Q} starr; sein einziger Automorphismus ist die Identität.

Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn sie algebraisch ersten Grades ist. Daher sind die rationalen Zahlen eine Teilmenge der algebraischen Zahlen \mathbb{A}.

Zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer noch eine weitere rationale Zahl. Ein Beispiel ist das arithmetische Mittel zweier Brüche \frac{a}{b} und \frac{c}{d}: \frac{ad+bc}{2bd}. Daraus folgt, dass zwischen zwei rationalen Zahlen sogar beliebig viele rationale Zahlen liegen.

Die rationalen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade. Das bedeutet: Jede reelle Zahl, anschaulich jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Trotzdem ist \mathbb{Q} abzählbar, also gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen. Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen \mathbb{Q} und \mathbb{N}. Cantors erstes Diagonalargument und der Stern-Brocot-Baum liefern solche Abbildungen. Als abzählbare Menge ist \mathbb{Q} eine Lebesgue-Nullmenge.

Division und Dezimalentwicklung

Ein Bruch aus Zähler und Nenner stellt eine nicht ausgeführte Division dar. Dadurch ist die rationale Zahl exakt und ohne Genauigkeitsverlust beschrieben. Für manche Zwecke, etwa beim Vergleichen zweier rationaler Zahlen, ist es aber leichter, die Division zumindest teilweise als Division mit Rest auszuführen; daraus kann eine gemischte Zahl entstehen.

Als vollständig ausgeführt gilt eine Division, wenn die rationale Zahl in einem Stellenwertsystem zu einer bestimmten Basis entwickelt ist. Dafür gibt es verschiedene Divisionsalgorithmen: schriftliche Division für die manuelle Rechnung, Algorithmen für Computer sowie Verfahren für Ganzzahlen fester oder beliebiger Länge. Genannt werden die SRT-Division, die Goldschmidt-Division und die Newton-Raphson-Division. Goldschmidt- und Newton-Raphson-Division bilden zuerst eine Art Kehrwert des Nenners, der anschließend mit dem Zähler multipliziert wird. Die SRT-Division wurde in der Divisionseinheit des Pentium-Prozessors von Intel zunächst fehlerhaft implementiert.

Jeder rationalen Zahl lässt sich eine Dezimalbruchentwicklung zuordnen. Rationale Zahlen besitzen eine periodische Dezimalbruchentwicklung; irrationale Zahlen dagegen eine nichtperiodische. Eine endliche Dezimalentwicklung ist ein Spezialfall einer periodischen Entwicklung: Nach der endlichen Ziffernfolge wiederholt sich die Ziffer 0 oder bei Basis g die Ziffer g-1 periodisch. Der wiederholte Teil heißt Periode und wird in vielen Ländern, aber nicht international einheitlich, mit einem Überstrich markiert.

Beispiele aus dem Artikel sind \frac{1}{3}=0,\overline{3}=0,33333\dots, \frac{9}{7}=1,\overline{285714} und 1=\frac{1}{1}=1,\overline{0}=0,\overline{9}. Auch Binärentwicklungen zur Basis g=2 werden angegeben, etwa \frac{1}{3}=[0,\overline{01}]_2.

Endliche Entwicklungen gehören zu Brüchen, deren gekürzter Nenner d in einer Potenz g^r der Basis aufgeht. Für nicht abbrechende Entwicklungen hängt die Periodenlänge mit der Ordnung \operatorname{ord}_n(g), der eulerschen Phi-Funktion \varphi und der Carmichael-Funktion \lambda(n) zusammen. Es gilt \operatorname{ord}_n(g)\mid\lambda(n)\mid\varphi(n). Die worst case Periodenlänge liegt in \mathcal{O}(n), während die Länge der Zahl n im g-adischen Zahlsystem in \mathcal{O}(\log n) liegt.