Hyperkomplexe Zahl

Grundidee und Definition

Hyperkomplexe Zahlen verallgemeinern die komplexen Zahlen. Hier werden sie als Elemente einer algebraischen Struktur betrachtet; manchmal bezeichnet der Ausdruck auch nur die Quaternionen.

Eine Algebra A über den reellen Zahlen heißt Algebra hyperkomplexer Zahlen oder hyperkomplexes System des Rangs n, wenn A als Vektorraum die endliche Dimension n hat und ein Einselement besitzt. Das bedeutet: Es gibt ein e ∈ A mit e·a = a·e = a für alle a ∈ A. Die reellen Zahlen selbst sind insbesondere eine Algebra hyperkomplexer Zahlen.

Manche Autoren verlangen zusätzlich, dass die Multiplikation assoziativ ist, also dass beim Multiplizieren von drei Elementen die Klammerung keine Rolle spielt.

Rechenregeln und Grenzen

Für die Addition gelten Kommutativgesetz und Assoziativgesetz; außerdem ist sie invertierbar. Für die Multiplikation gelten das links- und rechtsseitige Distributivgesetz.

Die Multiplikation ist über den reellen Zahlen bilinear. Es gilt

(αx)(βy) = αβ(xy) für alle α, β ∈ ℝ und x, y ∈ A.

Nicht verlangt wird dagegen, dass die Multiplikation kommutativ ist. Auch muss nicht jedes Element ein multiplikatives Inverses besitzen, und die Algebra muss nicht nullteilerfrei sein. Nullteiler sind von null verschiedene Elemente, deren Produkt null sein kann.

Darstellung und Konjugation

Eine hyperkomplexe Zahl kann als Summe

a = a₀1 + a₁i₁ + … + aₙiₙ

geschrieben werden. Die Größen iₖ für k > 0 heißen imaginäre Einheiten. Die Konjugation entsteht, indem jede imaginäre Einheit durch ihr Negatives ersetzt wird:

ā = a₀1 − a₁i₁ − … − aₙiₙ.

Die konjugierte Zahl wird mit ā oder a* bezeichnet. Konjugation ist eine Involution: Wendet man sie zweimal an, erhält man wieder die Ausgangszahl, also ā̄ = a.

Wichtige Zahlensysteme

Die komplexen Zahlen ℂ haben die Form z = a + bi mit i² = −1. Die anormal-komplexen Zahlen haben die Form z = a + bj mit j² = 1. Duale Zahlen haben die Form z = a + bε mit ε² = 0; sie haben nichts mit Dualzahlen, also der Zahlendarstellung im Zweiersystem, zu tun.

Quaternionen haben die Form x₀ + x₁i + x₂j + x₃k mit i² = j² = k² = ijk = −1. Sie werden oft mit ℍ bezeichnet, bilden eine vierdimensionale ℝ-Algebra mit Division und assoziativer, aber nicht kommutativer Multiplikation. Sie sind damit ein Schiefkörper.

Biquaternionen sind Quaternionen mit komplexen Koeffizienten und bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über ℂ. Es gibt Hamilton-Biquaternionen und Clifford-Biquaternionen.

Oktonionen ℍ? Nein: Ihr Symbol ist ℝ? Die Oktonionen werden mit ℝ? Nein, sie werden mit 𝕆 bezeichnet und auch Oktaven genannt. Sie sind achtdimensional, besitzen Division und eine alternative Multiplikation. Sedenionen 𝕊 sind sechzehndimensional; ihre Multiplikation ist weder kommutativ noch assoziativ noch alternativ. Sie besitzen keine Division, sondern Nullteiler.

Matrizen und weitere Erzeugung

Für jede natürliche Zahl n ist ℝⁿˣⁿ, die Algebra der reellen n×n-Matrizen, mit der n×n-Einheitsmatrix als Einselement eine hyperkomplexe Algebra. Sie ist assoziativ und daher auch ein unitärer Ring. Die reellen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu ℝ isomorphe Unteralgebra.

Für n = 2 gibt es Unteralgebren, die zu drei zweidimensionalen Algebren isomorph sind. Ihre Hauptdiagonalelemente stimmen stets überein und entsprechen dem Realteil. Ist ein Nebendiagonalelement 0, erhält man eine zu den Dualen Zahlen isomorphe Algebra. Stimmen beide Nebendiagonalelemente überein, ist sie zu den Binären Zahlen isomorph; ist eines das Negative des anderen, zu den komplexen Zahlen. Matrizen des dritten Typs, durch die Determinante dividiert, sind Drehmatrizen des zweidimensionalen Raums. Matrizen des zweiten Typs entsprechen nach Division durch eine von 0 verschiedene Determinante einer Lorentz-Transformation im 1+1-dimensionalen Minkowski-Raum.

Mit dem Verdopplungsverfahren oder Cayley-Dickson-Verfahren lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme mit doppelter Dimension erzeugen. Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.