Bruchrechnung

Grundidee von Brüchen

Bruchrechnung ist das Rechnen mit gemeinen oder gewöhnlichen Brüchen in der Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise und gehört zur Arithmetik. Im weiteren Sinn meint sie das Rechnen mit rationalen Zahlen unabhängig von ihrer Schreibweise. In der Algebra werden außerdem Bruchterme behandelt: Das sind Brüche, deren Zähler und Nenner Terme mit Variablen sein können.

Ein Bruch beschreibt eine Aufteilung eines Ganzen in gleich große Teile. Der Nenner unter dem Bruchstrich gibt an, in wie viele Teile geteilt wird, der Zähler darüber, wie viele dieser Teile gemeint sind. So bedeutet 3/4: Ein Ganzes wird in vier gleiche Teile geteilt, drei Teile werden betrachtet. Ein Bruch kann zugleich als Division gelesen werden: Z : N = Z/N.

Bruch und Bruchzahl sind nicht dasselbe: 6/8 und 3/4 sind unterschiedliche Brüche als Schreibweisen, bezeichnen aber dieselbe Bruchzahl beziehungsweise Menge.

Gleichwertigkeit und Brucharten

Gleichwertige oder äquivalente Brüche haben denselben Wert. Sie sind gleichwertig, wenn sie vollständig gekürzt denselben Bruch ergeben, nach Erweiterung denselben Nenner und Bruch ergeben, beim Dividieren von Zähler durch Nenner dieselbe rationale Zahl liefern oder auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle liegen. Beispielsweise gilt 3/5 = 6/10 = 9/15 = 0,6; auch 3/4 und 6/8 stehen für 0,75.

Bei einem gemeinen Bruch Z/N sind Zähler und Nenner ganze Zahlen; N darf nicht 0 sein, weil Division durch null nicht definiert ist. Ein negatives Vorzeichen wird gewöhnlich vor den Bruch gesetzt, etwa -3/4. Es gilt (-3)/(-4) = 3/4.

Ein echter Bruch hat einen kleineren Zählerbetrag als Nennerbetrag, etwa 6/7; sein Betrag ist kleiner als 1. Bei einem unechten Bruch ist der Zählerbetrag mindestens so groß wie der Nennerbetrag, etwa 7/7 oder 11/3. Ein Stammbruch hat den Zähler 1, zum Beispiel 1/9; andere Brüche heißen Zweigbrüche oder abgeleitete Brüche. Ein Scheinbruch ist ein unechter Bruch, bei dem der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist, etwa 12/3 = 4. Jede ganze Zahl n lässt sich als n/1 schreiben.

Unechte Brüche, die keine Scheinbrüche sind, können als gemischte Zahlen geschrieben werden. Dabei steht zuerst der zur Null hin gerundete ganzzahlige Anteil, danach ein echter Bruch: 4/3 = 1 1/3 und -18/5 = -3 3/5. Eine gemischte Zahl wie 2 1/3 bedeutet 2 + 1/3 = 7/3, nicht 2 · 1/3. Dagegen ist a b/c wegen der Variablen ein Term und bedeutet a · b/c.

Umformen und Rechnen mit Zahlenbrüchen

Beim Umformen ändert sich die Schreibweise eines einzelnen Bruchs, nicht sein Wert. Eine Dezimalzahl erhält man durch Division von Zähler durch Nenner: 3/4 = 0,75 = 75 %.

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multipliziert; beim Kürzen werden beide durch einen gemeinsamen Teiler geteilt. Daher gilt 2/3 = (2 · 5)/(3 · 5) = 10/15. Zum Umwandeln eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl werden ganze Anteile abgespalten: 8/3 = 6/3 + 2/3 = 2 2/3.

Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig. Ungleichnamige Brüche werden zum Addieren, Subtrahieren oder Vergleichen auf einen gemeinsamen Nenner erweitert, möglichst auf den Hauptnenner, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Für 2/7, 1/6 und 9/14 ist das kgV 42: 2/7 = 12/42, 1/6 = 7/42 und 9/14 = 27/42. Daraus folgt 1/6 < 2/7 < 9/14.

Zum Addieren und Subtrahieren macht man die Brüche gleichnamig und addiert oder subtrahiert dann die Zähler. Beispiele: 1/6 + 2/15 = 5/30 + 4/30 = 3/10; 2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12. Beim Multiplizieren werden Zähler miteinander und Nenner miteinander multipliziert: 2/3 · 4/5 = 8/15. Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert: 2/15 : 14/27 = 2/15 · 27/14 = 9/35. Dabei dürfen gemeinsame Faktoren in Zwischenschritten gekürzt werden.

Bei gemischten Brüchen werden für Multiplikation und Division meist zuerst gewöhnliche Brüche gebildet. Bei Addition und Subtraktion betrachtet man meist die ganzen Anteile getrennt. Dabei kann ein zusätzliches Ganzes entstehen oder für die Bruchteile muss ein Ganzes in einen Scheinbruch zerlegt werden, etwa 16 1/3 - 9 1/2 = 6 5/6.

Allgemeine Regeln und Bruchterme

Für Brüche und Bruchterme gelten dieselben Grundregeln. Mit b, d und c als zulässigen, nicht problematischen Nenner- beziehungsweise Divisorwerten gilt:

• Erweitern und Kürzen: (a · c)/(b · c) = a/b. Nur Faktoren von Produkten dürfen gekürzt werden; Summen oder Differenzen müssen gegebenenfalls zuerst faktorisiert werden.
• Addition: a/b + c/d = (a · d + c · b)/(b · d).
• Subtraktion: a/b - c/d = (a · d - c · b)/(b · d).
• Multiplikation: a/b · c/d = (a · c)/(b · d) und a/b · n = (a · n)/b.
• Division: a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c). Außerdem gilt a/b : n = a/(b · n) und n : a/b = (n · b)/a.
• Potenzen: a^n/b^m = a^n · b^-m, a^n/a^m = a^(n-m) und a^n/b^n = (a/b)^n.

Bei Bruchtermen ist der Definitionsbereich wichtig: Kein Nenner darf 0 werden. Der Term 1/(6 - 2x) ist bei x = 3 nicht definiert und hat bei reeller Grundmenge den Definitionsbereich D = ℝ \ {3}. Für x/(x² - 9) = x/((x + 3)(x - 3)) gilt D = ℝ \ {-3; +3}. Beim Kürzen kann sich der Definitionsbereich der vereinfachten Schreibweise ändern; die ursprünglichen Ausschlüsse müssen deshalb beachtet werden.

Für Addition und Subtraktion von Bruchtermen wird ein gemeinsamer Hauptnenner bestimmt, häufig nach Faktorisierung der Nenner. Bei Multiplikation werden Zähler und Nenner multipliziert und gemeinsame Faktoren gekürzt. Bei Division wird mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. So wird (2x - 3)/(5x) : (4x² - 9)/(10x²) zu (2x - 3)/(5x) · 10x²/((2x + 3)(2x - 3)) = 2x/(2x + 3).

Weitere Darstellungsformen

Ein ägyptischer Bruch ist eine Darstellung als Summe von Stammbrüchen. Beispiele sind 3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 sowie 25/31 = 1/2 + 1/4 + 1/18 + 1/1116.

Ein pythagoreischer Bruch ist ein Zahlentripel von Brüchen, das die Gleichung a² + b² = c² erfüllt. Das Tripel (1/5, 24/35, 5/7) ist ein Beispiel, denn (1/5)² + (24/35)² = (5/7)². Es entsteht aus dem pythagoreischen Tripel (7, 24, 25) durch Division durch 35.