Implizite Differentiation

Grundidee der impliziten Differentiation

Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) dient dazu, Funktionen abzuleiten, die nicht direkt als Term y=f(x), sondern durch eine Gleichung gegeben sind. Eine solche Gleichung beschreibt eine implizite Kurve. Das Verfahren kann auch bei expliziten Funktionen nützlich sein, wenn deren direkte Ableitung schwierig ist.

Ableitungsregel

Gilt für eine differenzierbare Funktion f: ℝ → ℝ die Gleichung F(x,f(x))=0, wobei F: ℝ² → ℝ differenzierbar ist, dann ist F(x,f(x)) konstant gleich 0. Daher ist auch die Ableitung null:

0 = d/dx F(x,f(x)) = Fₓ + Fᵧ f'.

Fₓ und Fᵧ sind die partiellen Ableitungen von F nach x beziehungsweise y; dabei werden sie an der Stelle (x,f(x)) ausgewertet. Falls Fᵧ(x₀,f(x₀)) ≠ 0 gilt, kann man nach f' auflösen:

f'(x) = −Fₓ(x,f(x)) / Fᵧ(x,f(x)).

Die Bedingung Fᵧ ≠ 0 stellt sicher, dass diese Auflösung in einer Umgebung der betrachteten Stelle möglich ist.

Höhere Ableitungen

Mit Produkt- und Kettenregel lassen sich auch höhere Ableitungen bestimmen. Für die zweite Ableitung gilt:

f''(x) = −(FₓₓFᵧ² + FᵧᵧFₓ² − 2FₓᵧFₓFᵧ) / Fᵧ³.

Dabei sind Fₓₓ, Fᵧᵧ und Fₓᵧ die zweiten partiellen Ableitungen von F.

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Für f(x)=ln(x) kann man die implizite Darstellung e^{f(x)}−x=0 verwenden. Nach dem Ableiten folgt:

e^{f(x)}·f'(x)−1=0.

Da e^{f(x)}=e^{ln(x)}=x ist, erhält man x·f'(x)−1=0 und damit:

f'(x)=1/x.

Variable Basis und variabler Exponent

Die Funktion f(x)=xˣ für x>0 hat sowohl eine variable Basis als auch einen variablen Exponenten. Durch Logarithmieren erhält man ln f(x)=x ln x. Implizites Ableiten liefert:

(1/f(x))·f'(x)=ln x+x·(1/x)=ln x+1.

Mit f(x)=xˣ folgt:

f'(x)=f(x)(ln x+1)=xˣ(ln x+1).

Kreis und Tangentensteigung

Ein Kreis mit Mittelpunkt (0,0) und Radius r erfüllt x²+y²=r². Schreibt man einen Teil davon als y=f(x), lautet die Gleichung x²+f(x)²=r². Ableiten ergibt:

2x+2f(x)f'(x)=0.

Für f(x)≠0 beziehungsweise y≠0 ist daher:

f'(x)=−x/f(x)=−x/y.

Die Tangente an den Kreis im Punkt (x,y) hat somit für y≠0 die Steigung −x/y.