Produktregel

Grundidee und Regel

Die Produktregel, auch Leibnizregel, ist eine grundlegende Ableitungsregel. Sie beschreibt die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen. Sind u und v auf einem Intervall D an der Stelle a differenzierbar und ist f(x)=u(x)·v(x), dann ist auch f an dieser Stelle differenzierbar. Es gilt:

f'(a)=u'(a)·v(a)+u(a)·v'(a).

Kurz schreibt man: (u·v)'=u'·v+u·v'. Man leitet also zuerst den linken Faktor ab und lässt den rechten unverändert; anschließend lässt man den linken Faktor unverändert und leitet den rechten ab. Beide Ergebnisse werden addiert.

Die Regel ist nützlich, weil die Ableitungen der einzelnen Faktoren häufig schon bekannt oder leichter zu bestimmen sind als die Ableitung des gesamten Produkts. Ist ein Faktor konstant, wird daraus die Faktorregel. Die Produktregel zeigt außerdem: Differenzierbarkeit bleibt bei Produktbildung erhalten. Summenregel und Quotientenregel sind die entsprechenden Regeln für Addition beziehungsweise Division. In der Integralrechnung führt die Produktregel zur partiellen Integration.

Anschauliche Begründung und Beweis

Differenzierbarkeit bedeutet, dass sich eine Funktion nahe einer Stelle gut durch eine lineare Funktion, also ihre Tangente, annähern lässt. Für f und g nahe 0 können solche Näherungen die Form f(x)≈A·x+a und g(x)≈B·x+b haben. Dabei sind A=f'(0), B=g'(0), a=f(0) und b=g(0).

Beim Multiplizieren entsteht

(A·x+a)(B·x+b)=A·B·x²+(A·b+B·a)·x+a·b.

Nahe x=0 ist der Term A·B·x² gegenüber den linearen Termen verschwindend gering. Die Steigung des Produkts ist deshalb A·b+B·a, also f'(0)·g(0)+g'(0)·f(0). Dieselbe Überlegung gilt an jedem festen Punkt.

Auch geometrisch kann man das Produkt u(x)·v(x) als Fläche eines Rechtecks auffassen. Bei einer Änderung um Δx gilt:

Δ(u(x)·v(x))=u(x)·Δv(x)+v(x)·Δu(x)+Δu(x)·Δv(x).

Nach Division durch Δx erhält man den Differenzenquotienten. Für Δx gegen 0 geht Δv(x), und damit der letzte Summand, gegen 0. Es bleibt (u·v)'=u·v'+v·u'.

Formal beginnt der Grenzwertbeweis mit

lim(Δx→0) [u(x+Δx)·v(x+Δx)-u(x)·v(x)]/Δx.

Durch geschicktes Addieren und Subtrahieren eines Terms zerfällt dieser Ausdruck in die beiden Differenzenquotienten von u und v. Ihre Grenzwerte liefern u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x).

Typische Anwendungen

Für u(x)=x und v(x)=x ist f(x)=x². Da u'(x)=v'(x)=1, folgt:

(d/dx)x²=1·x+x·1=2·x.

Bei u(x)=2·x und v(x)=6/x ist das Produkt f(x)=12. Mit u'(x)=2 und v'(x)=-6/x² ergibt sich:

f'(x)=2·6/x+(2·x)·(-6/x²)=12/x-12/x=0.

Die Produktregel kann also auch zeigen, dass sich die Beiträge beider Faktoren genau aufheben.

Für f(x)=(x²-4)·(x³+1) lautet die Ableitung direkt in Kurznotation:

f'(x)=2·x·(x³+1)+(x²-4)·3·x².

Ausmultipliziert ist dies f'(x)=5·x⁴-12·x²+2·x.

Höhere Ableitungen und viele Faktoren

Für höhere Ableitungen eines Produkts zweier Funktionen gilt die Leibnizregel:

(u·v)^(n)=Σ(k=0 bis n) (n über k)·u^(k)·v^(n-k).

Dabei ist n die Ordnung der Ableitung, Σ das Summenzeichen und (n über k) ein Binomialkoeffizient. Für n=1 ergibt sich die gewöhnliche Produktregel. Sind u und v jeweils n-mal differenzierbar, dann ist auch u·v n-mal differenzierbar. Die Formel ähnelt dem binomischen Lehrsatz (a+b)^n=Σ(k=0 bis n) (n über k)·a^k·b^(n-k).

Für ein Produkt f=∏(j=1 bis k) f_j endlich vieler differenzierbarer Funktionen wird jeweils genau ein Faktor abgeleitet, während alle übrigen stehen bleiben:

f'=Σ(j=1 bis k) f_j'·∏(ℓ=1, ℓ≠j bis k) f_ℓ.

Haben alle Faktoren keine Nullstellen, lässt sich dies als logarithmische Ableitung schreiben:

f'/f=f_1'/f_1+f_2'/f_2+…+f_k'/f_k.

Für die n-te Ableitung eines Produkts von k Faktoren gilt entsprechend:

(∏(j=1 bis k) f_j)^(n)=Σ(n_1+…+n_k=n) (n über n_1,n_2,…,n_k)·∏(j=1 bis k) f_j^(n_j).

Die Anzahl der dabei auftretenden Summanden ist (k+n-1 über n). Voraussetzung bei allen diesen Regeln ist, dass die betrachteten Faktoren an der jeweiligen Stelle differenzierbar sind; sonst kann die Ableitung des Produkts dort eine Definitionslücke haben.

Verallgemeinerungen der Produktregel

Die Produktregel gilt ebenso für komplex differenzierbare Funktionen. Sind u,v:U→ℂ in z₀ differenzierbar, wobei U⊆ℂ offen ist, dann gilt:

(u·v)'(z₀)=u'(z₀)·v(z₀)+u(z₀)·v'(z₀).

Sind beide Funktionen auf U holomorph, also in jedem Punkt von U komplex differenzierbar, dann ist auch ihr Produkt holomorph.

Die Regel überträgt sich auf Produkte, die in beiden Faktoren linear sind: auf Skalarmultiplikation, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Matrix-Vektor-Produkte. Beispielsweise gilt für Vektorfunktionen:

(d/dx)(u⃗(x)·v⃗(x))=(d u⃗/dx)·v⃗(x)+u⃗(x)·(d v⃗/dx).

Für Funktionen u,v:U→ℝ mit U⊆ℝⁿ gilt für Richtungsableitungen und Gradienten:

(d/dx)(u·v)=((d/dx)u)·v+u·((d/dx)v),

∇(u·v)=(∇u)·v+u·∇v.

Auch höhere partielle Ableitungen erfüllen eine entsprechende Formel:

D^α(u·v)=Σ(β≤α) (α über β)·D^β(u)·D^(α-β)(v).

Allgemein heißen Abbildungen D, die D(u·v)=v·D(u)+u·D(v) erfüllen, Derivationen. In graduierten Algebren tritt bei Antiderivationen ein Vorzeichen auf: D(u·v)=D(u)·v+(-1)^|u|·u·D(v). Ein wichtiges Beispiel ist die äußere Ableitung von Differentialformen: d(ω∧η)=dω∧η+(-1)^|ω|·ω∧dη.