Kettenregel

Grundidee und Grundformel

Die Kettenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel der Differentialrechnung. Sie dient dazu, die Ableitung einer Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen zu bestimmen. Für f(x)=u(v(x)) gilt:

(u∘v)'(x₀)=u'(v(x₀))·v'(x₀).

Dabei heißt u äußere Funktion und v innere Funktion. Voraussetzung sind offene Intervalle U und V, Funktionen v:V→ℝ und u:U→ℝ mit v(V)⊂U, wobei v in x₀∈V und u in v(x₀)∈U differenzierbar sind. Dann ist auch u∘v in x₀ differenzierbar.

Die Merkregel lautet: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die äußere Ableitung wird dabei an der Stelle v(x₀) ausgewertet, die innere an x₀. In Lagrange-Notation lautet die Formel (f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x). Das Gegenstück der Kettenregel in der Integralrechnung ist die Integration durch Substitution.

Anwendung an einer verschachtelten Potenz

Für f(x)=(x³+1)² kann man u(v)=v² als äußere und v(x)=x³+1 als innere Funktion wählen. Dann gilt u'(v)=2·v und v'(x)=3·x². Mit der Kettenregel folgt:

f'(x)=u'(v(x))·v'(x)=2·(x³+1)·3·x².

Eine Funktion kann auf verschiedene Arten als Verkettung dargestellt werden. Dieselbe Funktion lässt sich etwa auch durch u(v)=(v+1)² und v(x)=x³ beschreiben. Diese Wahl ist rechnerisch aufwendiger.

Das Ergebnis kann durch Ausmultiplizieren überprüft werden: f(x)=x⁶+2·x³+1 und damit f'(x)=6·x⁵+6·x²=6·x²·(x³+1)=2·(x³+1)·3·x².

Weitere typische Anwendungen

Bei f(x)=xˣ wird für x>0 geschrieben: f(x)=e^(x·ln(x)). Die äußere Funktion ist u(v)=eᵛ, die innere v(x)=x·ln(x). Da v'(x)=ln(x)+1, ergibt sich:

f'(x)=e^(x·ln(x))·(ln(x)+1)=xˣ·(ln(x)+1).

Für f(x)=⁽ˣ√x⁾=x^(1/x)=e^(ln(x)/x) ist die innere Funktion v(x)=ln(x)/x. Mit der Quotientenregel erhält man v'(x)=(1-ln(x))/x². Daher gilt:

f'(x)=x^(1/x)·((1-ln(x))/x²).

Diese Beispiele zeigen, dass die Kettenregel oft zusammen mit Produktregel, Quotientenregel und der Ableitung von ln(x) verwendet wird.

Begründung und mehrfache Verkettungen

Heuristisch folgt die Kettenregel aus der Zerlegung des Differenzenquotienten:

Δu/Δx = (Δu/Δv)·(Δv/Δx).

Beim Grenzübergang Δx→0 geht auch Δv gegen null. Die beiden Faktoren werden zu du/dv und dv/dx; daraus folgt (u∘v)'(x)=u'(v(x))·v'(x). Ein formaler Beweis verwendet die Stetigkeit eines passend erweiterten Differenzenquotienten von u.

Bei mehr als zwei verschachtelten Funktionen wird die Kettenregel wiederholt angewendet. Für f(x)=u(v(w(x))) gilt:

f'(x)=u'(v(w(x)))·v'(w(x))·w'(x).

Allgemein hat f=u₁∘…∘uₙ die Ableitung

f'(x)=u₁'(u₂(…(uₙ(x))))·u₂'(u₃(…(uₙ(x))))·…·uₙ'(x).

Man bildet also von außen nach innen die Ableitungen, setzt jeweils die noch inneren Ausdrücke ein und multipliziert alle Faktoren.

Komplexe, höhere und mehrdimensionale Fälle

Für komplexe Funktionen u und v auf offenen Teilmengen von ℂ gilt dieselbe Kettenregel einschließlich des Beweises: (u∘v)'(x₀)=u'(v(x₀))·v'(x₀).

Für höhere Ableitungen gibt es die Formel von Faà di Bruno. Sind u und v n-mal differenzierbar und f(x)=u(v(x)), dann gilt:

f⁽ⁿ⁾(x)=Σ_(k₁,…,kₙ)∈Tₙ [n!/(k₁!·…·kₙ!)] u⁽ᵏ¹+…+ᵏⁿ⁾(v(x)) · ∏_(m=1, kₘ≥1)^n (1/m!·v⁽ᵐ⁾(x))ᵏᵐ.

Dabei enthält Tₙ alle n-Tupel nichtnegativer ganzer Zahlen (k₁,…,kₙ) mit 1·k₁+2·k₂+…+n·kₙ=n.

Für Abbildungen mehrerer Veränderlicher beschreibt die Ableitung Dfₓ₀ eine lineare Abbildung und kann durch die Jacobi-Matrix J_f(x₀) dargestellt werden. Für v:ℝⁿ→ℝˡ und u:ℝˡ→ℝᵐ gilt:

D(u∘v)ₓ₀=Du_{v(x₀)}∘Dvₓ₀, J_{u∘v}(x₀)=J_u(v(x₀))·J_v(x₀).

Die Jacobi-Matrix der Verkettung ist also das Produkt der Jacobi-Matrizen.

Notation in Physik und Ingenieurwissenschaft

In Physik und Ingenieurwissenschaften wird die Kettenregel häufig in Leibniz-Notation geschrieben. Für h=f∘g lautet sie:

dh/dx = (df/dg)·(dg/dx).

Die Schreibweise lässt die Argumente oft weg und behandelt die Differentialquotienten salopp wie Brüche. Inhaltlich steckt dahinter stets die mathematische Kettenregel.

Ein Beispiel ist die kinetische Energie E=f(v), wenn die Geschwindigkeit v=g(t) von der Zeit abhängt. Dann ist E(t)=f(g(t)) und:

E'(t)=f'(g(t))·g'(t), beziehungsweise dE/dt=(dE/dv)·(dv/dt).

Die Notation erlaubt es, für physikalische Größen durchgängig ihre üblichen Symbole zu verwenden, etwa E für Energie und v für Geschwindigkeit.