Logarithmus

Grundidee und Schreibweisen

Ein Logarithmus gibt den Exponenten an, mit dem eine festgelegte Basis potenziert werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten. Für positive reelle Zahlen gilt: y=\log_b(x) genau dann, wenn b^y=x. Dabei heißt b Basis und x Numerus. Basis und Numerus müssen positiv sein; außerdem darf b\neq1 sein. Das Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens: b^{\log_b x}=x und \log_b(b^x)=x.

Beispiel: \log_2 8=3, weil 2^3=8. Die Logarithmusfunktionen bilden \mathbb R^+ auf \mathbb R ab und unterscheiden sich bei verschiedenen Basen nur durch einen konstanten Faktor.

Wichtige Bezeichnungen sind \ln a für den natürlichen Logarithmus zur Basis \mathrm e=2{,}7182818\ldots, \lg a für den dekadischen Logarithmus zur Basis 10 und \operatorname{lb}a für den binären Logarithmus zur Basis 2. Auf Taschenrechnern steht LOG meist für Basis 10 und LN für Basis \mathrm e. Ohne angegebene Basis kann \log je nach Zusammenhang den dekadischen oder den natürlichen Logarithmus bedeuten.

Rechengesetze und Basiswechsel

Für positive x,y und eine positive Basis b\neq1 gelten die zentralen Logarithmengesetze:

• \log_b(x\cdot y)=\log_bx+\log_by. Ein Produkt wird also zu einer Summe.
• \log_b\frac{x}{y}=\log_bx-\log_by; insbesondere \log_b\frac1x=-\log_bx.
• \log_b(x^r)=r\log_bx für reelle Exponenten r.
• \log_b\sqrt[n]{x}=\frac1n\log_bx, weil eine Wurzel eine Potenz mit Exponent \frac1n ist.

Für Summen gibt es dagegen keine einfache Regel wie \log_b(x+y)=\log_bx+\log_by. Möglich ist nur die Umformung \log_b(x+y)=\log_bx+\log_b\left(1+\frac yx\right).

Mit der Basisumrechnung lassen sich Logarithmen jeder Basis aus einer verfügbaren Basis a\neq1 berechnen: \log_bx=\frac{\log_ax}{\log_ab}. Daraus folgt \log_ab=\frac1{\log_ba}. Beispielsweise ist \log_{10}8=\frac{\ln8}{\ln10}. Für die Kehrwertbasis gilt \log_{a^{-1}}x=-\log_ax.

Im reellen Zahlenbereich sind Logarithmen für 0 und negative Zahlen nicht definiert: b^x kann bei positiver Basis weder 0 noch -1 ergeben.

Graph, natürlicher Logarithmus und Analysis

Die Logarithmusfunktion hat die Definitionsmenge \mathbb R^+=]0,\infty[, die Wertemenge \mathbb R und ihre Nullstelle bei (1\mid0). Sie ist für b>1 streng steigend, für b<1 streng fallend; Extrem- und Wendepunkte besitzt sie nicht. Für b>1 gilt \log_bx\to-\infty für x\to0^+ und \log_bx\to+\infty für x\to\infty; bei b<1 sind die Vorzeichen vertauscht.

Der natürliche Logarithmus \ln ist der Logarithmus zur Basis \mathrm e. Er heißt natürlich, weil er in Differential- und Integralrechnung ohne Vorfaktoren auftritt. Er ist die Stammfunktion von 1/x, die bei 1 den Wert 0 hat: \ln t=\int_1^t\frac1x\,\mathrm dx für t>0. Seine Ableitung lautet \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x für x>0; allgemeiner gilt \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log_b|x|=\frac1{x\ln b} für x\neq0.

Eine Stammfunktion von \ln|x| ist x\ln|x|-x+C. Ein typisches bestimmtes Integral ist \int_0^1\ln x\,\mathrm dx=-1. Die Exponentialfunktion \mathrm e^x ist die Umkehrfunktion von \ln x und erfüllt \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\mathrm e^x=\mathrm e^x.

Anwendungen logarithmischer Größen

Logarithmen sind besonders nützlich, wenn Werte viele Größenordnungen umfassen: Sie machen sehr große Bereiche übersichtlicher und wandeln Multiplikationen in Additionen um. Vor elektronischen Rechnern nutzten deshalb Rechenschieber und Logarithmentafeln logarithmische Skalen; Divisionen wurden zu Subtraktionen und Quadratwurzeln zu einer Division durch Zwei auf der Logarithmusebene.

Logarithmische Skalen und Größen kommen in vielen Bereichen vor. Der Schalldruckpegel wird in Dezibel (dB) angegeben. Die Helligkeitsempfindung des Auges wird durch das Weber-Fechner-Gesetz logarithmisch bewertet; zwischen Dämmerung und hellem Sonnenschein überbrückt das Auge bis zu 10{,}5 Zehnerpotenzen physikalischer Leuchtdichte. Der pH-Wert beschreibt den sauren oder basischen Charakter einer wässrigen Lösung. Die Richterskala ist deka-logarithmisch, daher steigt die Erdbebenstärke von Stufe zu Stufe exponentiell. Auch astronomische Größenklassen für Sternhelligkeiten sind logarithmisch.

In der belebten Natur werden logarithmische Spiralen etwa bei Schneckenhäusern und der Anordnung von Kernen auf Sonnenblumen genannt. In der Musik werden Frequenzverhältnisse logarithmisch als Intervalle beschrieben: Eine Oktave hat das Verhältnis 2 und 1200 Cent; eine reine große Terz hat das Verhältnis 5:4 und 1200\cdot\log_2\left(\frac54\right)\,\text{Cent}\approx386{,}314\,\text{Cent}; eine reine Quinte hat das Verhältnis 3:2 und ungefähr 701{,}955 Cent.

Für eine natürliche Zahl n werden im Stellenwertsystem zur Basis b genau 1+\lfloor\log_bn\rfloor Stellen benötigt. Da \log_2 100\approx6{,}64, benötigt 100=1100100_2 sieben Dualziffern. In der Informationstheorie liefert ein Ereignis der Wahrscheinlichkeit p die Informationsmenge \log_2\frac1p bit; bei einem fairen Münzwurf ist dies \log_22=1 bit.

Näherungsverfahren und technische Berechnung

Logarithmen werden meist nur näherungsweise durch iterative Verfahren berechnet; die Folge der Rechenschritte konvergiert zum richtigen Wert. Für den natürlichen Logarithmus gilt die Potenzreihe \ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots. Sie konvergiert für |x|<1 sowie für x=1. Für beliebige x kann man mit \ln(x)=m\ln2+\ln(2^{-m}x) auf Werte nahe bei 1 zurückführen.

Eine weitere Reihe lautet \ln x=2\operatorname{artanh}\frac{x-1}{x+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac2{2k+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1}. Sie gilt für x>0 und konvergiert umso besser, je näher x bei 1 liegt. Auch Kettenbrüche, additive Zerlegungen und Grenzwerte können zur Berechnung verwendet werden; die Hurwitz-Grenzwerte sind praktisch wegen auftretender Auslöschung nicht gut geeignet.

Für \log_2(x) kann eine Software- oder Hardwaremethode zunächst x durch Schieben auf 1\leq x<2 normieren. Wiederholtes Quadrieren verschiebt die Binärstellen des Logarithmus: Ist nach dem Quadrieren x\geq2, wird durch 2 geteilt und die nächste Binärziffer ist 1, sonst 0. Ein Analogrechner kann den exponentiellen Strom-Spannungs-Verlauf einer Diode mit Operationsverstärker, Diode und Widerstand ausnutzen, um eine Ausgangsspannung zu erzeugen, die dem Logarithmus der Eingangsspannung entspricht.

Komplexe und diskrete Logarithmen

Für jede komplexe Zahl z\neq0 heißt jede Lösung w von \mathrm e^w=z ein komplexer natürlicher Logarithmus von z. Anders als im Reellen ist er nicht eindeutig: Aus einem Wert w folgen wegen \mathrm e^{2k\pi\mathrm i}=1 auch alle Werte w+2k\pi\mathrm i mit k\in\mathbb Z. In Polarform z=|z|\mathrm e^{\mathrm i\arg z} lauten die Zweige w=\ln|z|+\mathrm i(\arg z+2k\pi).

Als Hauptwert wählt man den Streifen -\pi<\operatorname{Im}w\leq\pi und schreibt \ln z=\ln|z|+\mathrm i\arg z. Dieser Hauptzweig ist auf \mathbb C\setminus\{x\in\mathbb R:x\leq0\} stetig und holomorph. Für negative reelle Zahlen ergibt sich bei x>0: \ln(-x)=\ln x+\mathrm i\pi. Wegen der Mehrdeutigkeit gelten Rechenregeln wie \ln x+\ln y=\ln(xy) nur modulo 2\pi\mathrm i, nicht allgemein für komplexe Zahlen.

Diskrete Logarithmen sind Lösungen von a^n=b in einer endlichen zyklischen Gruppe (G,\circ)=\langle a\rangle. Der Exponent ist modulo der Gruppenordnung eindeutig. Für viele Gruppen ist der diskrete Logarithmus aufwändig zu berechnen, während die diskrete Exponentialfunktion leichter ist; dies wird in der Kryptographie, etwa bei Kryptosystemen auf elliptischen Kurven, verwendet. Beispiel: 2^x\equiv5\pmod{11} hat x=4, denn 2^4=16 lässt bei Division durch 11 den Rest 5; die Lösung ist modulo 10 eindeutig.