Mehrdimensionale Kettenregel

Grundidee und Ableitung

Die mehrdimensionale Kettenregel ist eine Verallgemeinerung der Kettenregel aus der Analysis einer Variablen auf Funktionen und Abbildungen mehrerer Variablen. Sie beschreibt, dass die Verkettung total differenzierbarer Abbildungen wieder differenzierbar ist, und gibt die Ableitung dieser Verkettung an.

Für eine differenzierbare Abbildung f: R^n -> R^m ist die Ableitung im Punkt p in R^n eine lineare Abbildung. Sie bildet Vektoren am Punkt p auf Vektoren am Bildpunkt f(p) in R^m ab. Diese Ableitung wird zum Beispiel als f'(p), Df(p) oder Df_p geschrieben.

In Koordinaten wird die Ableitung durch die Jacobi-Matrix J_f(p) dargestellt. Ihre Einträge sind die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen: J_f(p) = (partial f_i / partial x_j (p))_ij.

Die zentrale Aussage lautet: Die Ableitung einer Verkettung ist die Verkettung der Ableitungen. Für Jacobi-Matrizen bedeutet das: Die Jacobi-Matrix der verketteten Abbildung ist das Matrizenprodukt aus der Jacobi-Matrix der äußeren Funktion und der Jacobi-Matrix der inneren Funktion.

Allgemeiner Satz

Sind f: R^n -> R^l und g: R^l -> R^m differenzierbare Abbildungen, dann ist auch ihre Verkettung h = g circ f: R^n -> R^m differenzierbar.

Für die Ableitung im Punkt p in R^n gilt: D(g circ f)p = Dg{f(p)} circ Df_p.

In anderer Schreibweise: (g circ f)'(p) = g'(f(p)) circ f'(p).

Für die Jacobi-Matrizen lautet die Regel: J_{g circ f}(p) = J_g(f(p)) · J_f(p).

Dabei bezeichnet der Punkt die Matrizenmultiplikation. Die Koordinaten im Definitionsbereich von f heißen x = (x_1, ..., x_n), die Koordinaten im Bildraum von f und zugleich im Definitionsbereich von g heißen y = (y_1, ..., y_l).

Komponentenweise ergibt sich für h = g circ f: partial h_i / partial x_j (p) = sum_{k=1}^l (partial g_i / partial y_k)(f(p)) · (partial f_k / partial x_j)(p).

Wenn f und g für ein k in N von der Klasse C^k sind, also k-mal stetig differenzierbar, dann ist auch g circ f von der Klasse C^k. Dies folgt durch wiederholte Anwendung der Kettenregel und der Produktregel auf die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen.

Reelle Funktion über Umweg

Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn eine gewöhnliche reelle Funktion h: R -> R über einen mehrdimensionalen Umweg definiert ist: h = g circ f mit f: R -> R^l und g: R^l -> R.

Dann gilt: h'(x) = (partial g / partial y_1)(f(x)) · f_1'(x) + ... + (partial g / partial y_l)(f(x)) · f_l'(x) = grad g(f(x)) · f'(x).

Der Gradient grad g = nabla g ist der Vektor der partiellen Ableitungen: grad g = (partial g / partial y_1, ..., partial g / partial y_l)^top.

Das Produkt grad g(f(x)) · f'(x) ist hier ein Skalarprodukt. Dabei wird der Gradient der äußeren Funktion g an der Stelle f(x) ausgewertet und mit der vektorwertigen Ableitung f'(x) = (f_1'(x), ..., f_l'(x)) der inneren Abbildung f multipliziert.

Richtungsableitung

Die Kettenregel liefert auch die übliche Formel für Richtungsableitungen. Eine Richtungsableitung beschreibt, wie sich eine Funktion g in einem Punkt a ändert, wenn man sich in Richtung eines Vektors v bewegt.

Für f: R -> R^l mit f(t) = a + tv und a, v in R^l gilt: (g circ f)'(0) = (d/dt)|_{t=0} g(a + tv) = D_v g(a).

Nach der Kettenregel ist außerdem: (g circ f)'(0) = grad g(f(0)) · f'(0) = grad g(a) · v.

Damit erhält man die bekannte Formel: D_v g(a) = grad g(a) · v.

Typische Beispiele

Ein Beispiel ist h(x) = g(cos x, sin x). Hier ist g die äußere Funktion mit y = (y_1, y_2), und die innere Funktion ist f(x) = (cos x, sin x). Dann ist f'(x) = (-sin x, cos x)^top. Nach der mehrdimensionalen Kettenregel gilt: h'(x) = -sin x · (partial g / partial y_1)(cos x, sin x) + cos x · (partial g / partial y_2)(cos x, sin x).

Ein weiteres Beispiel ist die Ableitung von f(x) = x^x. Man kann x^x = e^{x ln x} schreiben und mit Ketten- und Produktregel ableiten: f'(x) = e^{x ln x}(x · 1/x + 1 · ln x) = x^x + x^x ln x.

Alternativ verwendet man die mehrdimensionale Kettenregel mit g(u, v) = u^v sowie h_1(x) = x und h_2(x) = x. Die partiellen Ableitungen sind partial g / partial u = v u^{v-1} und partial g / partial v = u^v ln u. Dann folgt: f'(x) = (partial g / partial u)(x, x) h_1'(x) + (partial g / partial v)(x, x) h_2'(x) = x · x^{x-1} · 1 + x^x ln x · 1 = x^x + x^x ln x.

Die Idee ist, das x in der Basis und das x im Exponenten zunächst als verschiedene Rollen zu behandeln, obwohl beide denselben Wert haben, und die Ergebnisse anschließend zu addieren.

Weitere Verallgemeinerungen

Die Kettenregel gilt auch auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Sind M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f: M -> N differenzierbar, dann ist die Ableitung Df_p im Punkt p in M eine lineare Abbildung zwischen Tangentialräumen: Df_p: T_p M -> T_{f(p)} N.

Andere Bezeichnungen dafür sind Differential df_p, Pushforward f_{*p} und Tangentialabbildung T_p f. Für differenzierbare Abbildungen f: M -> N und g: N -> P mit h = g circ f gilt wieder: Dh_p = Dg_{f(p)} circ Df_p.

Auch für Fréchet-Ableitungen gilt eine entsprechende Kettenregel. Gegeben seien Banach-Räume X, Y und Z, offene Teilmengen U subset X und V subset Y sowie Abbildungen B: U -> Y und A: V -> Z. Ist B an der Stelle phi in U und A an der Stelle B(phi) in V differenzierbar, dann ist auch A circ B: U -> Z an der Stelle phi differenzierbar, und es gilt: (A circ B)'(phi) = A'(B(phi)) circ B'(phi).