Partielle Ableitung

Grundbegriff und Definition

Eine partielle Ableitung ist in der Differentialrechnung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach genau einem dieser Argumente. Alle übrigen Argumente werden dabei konstant gehalten. Sie beschreibt also die Änderungsrate, wenn sich nur eine Variable ändert. Partielle Ableitungen sind unter anderem Bestandteile des Gradienten, des Laplace-Operators, der Divergenz und der Rotation.

Sei U eine offene Teilmenge von ℝⁿ, f: U → ℝ eine Funktion und a = (a₁, …, aₙ) ∈ U. Existiert für 1 ≤ i ≤ n der Grenzwert ∂f/∂xᵢ(a) := limₕ→₀ [f(a₁, …, aᵢ + h, …, aₙ) − f(a₁, …, aᵢ, …, aₙ)]/h, so heißt er partielle Ableitung von f nach xᵢ im Punkt a. Mit dem Standardbasisvektor eᵢ des ℝⁿ gilt auch: ∂f/∂xᵢ(a) = limₕ→₀ [f(a + heᵢ) − f(a)]/h.

Ist f in allen Punkten des Definitionsbereichs nach xᵢ partiell differenzierbar, definiert x ↦ ∂f/∂xᵢ(x) eine neue Funktion, die partielle Ableitung nach xᵢ. Gebräuchliche Schreibweisen sind ∂f/∂xᵢ, ∂f/∂xᵢ f, fₓᵢ, fᵢ, ∂ₓᵢf und Dₓᵢf. f heißt partiell differenzierbar, wenn alle n partiellen Ableitungen existieren. Sind sie zusätzlich stetig, heißt f stetig partiell differenzierbar.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen können erneut partiell differenziert werden. Bei Ableitungen 2. Ordnung unterscheidet man die Ableitung nach derselben Variablen, ∂²f/∂xᵢ² = ∂/∂xᵢ (∂f/∂xᵢ), und die gemischte partielle Ableitung nach einer anderen Variablen, ∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ) = ∂/∂xⱼ (∂f/∂xᵢ).

Die Reihenfolge der Indizes wird von rechts nach links gelesen und gibt die Reihenfolge der Ableitungen an. Für f(x₁, x₂, x₃) bezeichnet beispielsweise ∂³f/(∂x₁∂x₂∂x₁) = ∂ₓ₁∂ₓ₂∂ₓ₁f die Ableitung, bei der zunächst nach x₁, dann nach x₂ und zuletzt wieder nach x₁ abgeleitet wird.

Ableitungen ab der 2. Ordnung heißen partielle Ableitungen höherer Ordnung. Unter den Voraussetzungen des Satzes von Schwarz können Ableitungen nach gleichen Variablen zusammengefasst werden. Eine Ableitung, die k₁-mal nach x₁, k₂-mal nach x₂ usw. gebildet wird, lässt sich dann schreiben als ∂^(k₁+…+kₙ)f/(∂xₙ^kₙ … ∂x₂^k₂ ∂x₁^k₁) = ∂ₓₙ^kₙ … ∂ₓ₂^k₂ ∂ₓ₁^k₁f.

Geometrische Bedeutung

Für eine Funktion f: U → ℝ mit U als offener Teilmenge der xy-Ebene ist der Graph z = f(x,y) eine Fläche im dreidimensionalen Koordinatensystem. Hält man y auf einem festen Wert y₀, entsteht durch den Schnitt mit der Ebene y = y₀ die Kurve z = f(x,y₀), die nur noch von x abhängt.

Die partielle Ableitung nach x an der Stelle x₀ ist die Steigung der Tangente an diese Schnittkurve im Punkt (x₀, y₀, f(x₀,y₀)). Sie gibt damit die Steigung der Fläche in Richtung der x-Achse an diesem Punkt an. Entsprechend beschreibt die partielle Ableitung nach y die Änderung in Richtung der y-Achse.

Rechenregeln und wichtige Zusammenhänge

Da bei einer partiellen Ableitung alle anderen Variablen festgehalten werden, gelten die gewöhnlichen Ableitungsregeln. Für partiell nach xᵢ differenzierbare Funktionen f und g sowie eine differenzierbare Funktion h gilt:

• Summenregel: ∂(f+g)/∂xᵢ = ∂f/∂xᵢ + ∂g/∂xᵢ.
• Faktorregel: ∂(k·f)/∂xᵢ = k·∂f/∂xᵢ für k ∈ ℝ.
• Produktregel: ∂(fg)/∂xᵢ = (∂f/∂xᵢ)g + f(∂g/∂xᵢ).
• Quotientenregel: ∂(f/g)/∂xᵢ = [(∂f/∂xᵢ)g − f(∂g/∂xᵢ)]/g² für g ≠ 0.
• Kettenregel: ∂(h∘f)/∂xᵢ = h′(f)·∂f/∂xᵢ.

Ist f in a total differenzierbar, so ist f dort stetig und nach allen Richtungen partiell differenzierbar. Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen allein weder Stetigkeit noch totale Differenzierbarkeit. Ist f partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen in a stetig, so ist f in a total differenzierbar.

Der Satz von Schwarz besagt: Sind die zweiten partiellen Ableitungen stetig, darf man ihre Reihenfolge vertauschen. Dann gilt ∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ) = ∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ).

Beispiele und Anwendungen

Für f(x,y) = x² + y² − 2 erhält man durch Festhalten von y: ∂f/∂x = 2x. Durch Festhalten von x folgt: ∂f/∂y = 2y. Setzt man etwa y = 3, wird f(x,3) = x² + 7 und die gewöhnliche Ableitung ist ebenfalls 2x. Das Beispiel zeigt das grundlegende Verfahren: Bis auf eine Variable werden alle Variablen als Konstanten behandelt.

Für f(x,y) = cos(x) + sin(y) gilt: ∂f/∂x = −sin(x), ∂f/∂y = cos(y). Für f(x,y) = x² sin(xy) erhält man mit Produkt- und Kettenregel: ∂f/∂x = 2x sin(xy) + x²y cos(xy), ∂f/∂y = x³ cos(xy).

Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich zum Gradienten zusammenfassen: grad f = ∇f := (∂f/∂x₁, …, ∂f/∂xₙ)ᵀ. Die zweiten partiellen Ableitungen bilden die Hesse-Matrix H_f = (∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)). Partielle Ableitungen werden außerdem zur Taylorapproximation, zur Bestimmung von Maxima und Minima mehrerer Variablen sowie in der Differentialgeometrie zur Bildung totaler Differentiale verwendet. In der Thermodynamik treten totale Differentiale in großem Umfang auf.

Zeitliche Ableitung und Verallgemeinerungen

Hängt eine Größe f von den Ortskoordinaten x, y, z und der Zeit t ab und bewegen sich die Koordinaten nach x(t), y(t), z(t), beschreibt t ↦ f(x(t),y(t),z(t),t) die Größe entlang der Bahn. Ihre totale Ableitung nach der Zeit ist df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) + (∂f/∂z)(dz/dt) + ∂f/∂t.

Die partielle Ableitung ∂f/∂t berücksichtigt nur die explizite Zeitabhängigkeit und hält x, y und z konstant. Die totale Ableitung df/dt berücksichtigt zusätzlich die indirekte Zeitabhängigkeit durch die Bewegung der Ortskoordinaten. In der Physik wird sie auch als substantielle Zeitableitung bezeichnet, in der Strömungsmechanik als Euler-Ableitung im Gegensatz zur Lagrange-Ableitung.

Eine Verallgemeinerung ist die Richtungsableitung in Richtung eines beliebigen Vektors v = (v₁,…,vₙ): ∂f/∂v(a) := limₕ→₀ [f(a+hv) − f(a)]/h. Ist f in a total differenzierbar, gilt ∂f/∂v(a) = (∂f/∂x₁)(a)v₁ + … + (∂f/∂xₙ)(a)vₙ.

Für eine Funktion f: U → X in einen normierten Raum X wird die partielle Ableitung nach xᵢ durch denselben Grenzwert ∂f/∂xᵢ(a) = limₕ→₀ [f(a+heᵢ)−f(a)]/h definiert, wobei der Grenzwert bezüglich der Norm von X verstanden wird. Bei endlichdimensionalem X ist die Wahl der Norm beliebig. Auch höhere Ableitungen lassen sich so verallgemeinern.

Für eine Funktion f: U ⊂ ℝᵐˣⁿ → X und eine Matrix A = (aᵢⱼ) wird nach dem Matrixeintrag aᵢⱼ abgeleitet durch ∂f/∂aᵢⱼ(A) := limₕ→₀ [f(A + h eᵢeⱼᵀ) − f(A)]/h. Dabei verändert eᵢeⱼᵀ nur den Eintrag an der Stelle (i,j). Nach Identifizierung von ℝᵐˣⁿ mit ℝᵐ·ⁿ gelten auch hier die Regeln und Sätze der partiellen Differentiation.