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Mathe ABI Ableitungen – ln ableiten mit Wurzel
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 75 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen wie man die erste Ableitung von dieser Funktion hier bilden kann wenn wir uns unsere Funktion
- erstmal anschauen dann sehen wir dass wir hier den LN haben also den natürlichen Logarithmus von diesem Bruch hier drin also in unserem Logarithmus
- haben wir einiges stehen Bruch im Zähler steht nur eine Zahl da ist gar kein X drin ist schon mal ganz praktisch können wir direkt schon mal feststellen aber
- dafür haben wir im Nenner eine Wurzel stehen das nicht so praktisch ist bevor wir das hier ableiten und uns kurz mal Gedanken machen wenn wir das so
- beschreiben was wir dann benötigen um das abzuleiten nämlich die Kettenregel denn wir haben ja gesagt wir haben hier was außen wir haben hier im Logarithmus
- muss etwas stehen dann haben wir ein äußeres ein inneres eine ineinander verkettete oder verschachtelte Funktion und dann brauchen wir die Kettenregel
- aber bevor wir die Kettenregel anwenden würde ich erstmal vorschlagen dass wir vor allem hier diese Wurzel umschreiben also keiner leitet Wurzeln
- gerne so in der Form ab sondern die schreibt man normalerweise in eine Potenz um und dann kann man die Ableitungsregeln besser anwenden und das
- würde ich vorschlagen bevor wir das Ding überhaupt ableiten dass wir das erstmal ein bisschen vorbereiten dass es dann leichter ist beim Ableiten das heißt LN
- lassen wir mal so stehen 2 geilt durch können wir jetzt auch erstmal so stehen lassen und kümmern uns jetzt hier um diese Wurzel wie können wir die umschre
- schreiben wenn wir sowas haben wie die Wurzel von X dann ist es ja die Quadratwurzel also die zweite Wurzel die Zahl hier ist wichtig hier haben wir
- eine 3 wir machen es mal ganz kurz mit dem Beispiel mit einer 2 dann nimmt man sich alles was unter der Wurzel steht das ist in dem Beispiel jetzt nur das X
- und nimmt es dann hoch 1 geteilt also immer 1 geteilt durch die wie vielte Wurzel man hier zieht 1 geil dur 2 in diesem Fall bei uns bedeutet das wir
- nehmen alles was unter der Wurzel steht das sind diese 2x hoch 2 machen deine Klammer drum rum weil das einfach mehr ist als nur x und dann nehmen wir hoch 1
- geil durch die wie vielte Wurzel ziehen wir die dritte also hoch ein Drittel wir haben jetzt wirklich nur die Wurzel in eine Potenz umgeschrieben und damit
- können wir besser arbeiten was wir jetzt noch zusätzlich machen können ist wir haben jetzt ja hier im Logarithmus einen Bruch stehen momentan noch den müsste
- man dann mit der Quotientenregel ableiten das ist aber nur notwendig wenn im Zähler ein X vorkommt und auch im Nenner ein X vorkommt ansonsten GB es
- leichtere Varianten und da im Zähler kein X vorkommt würde ich sagen schreiben wir diesen Bruch hier in ein Produkt um also wir schreiben nicht zwei
- getilt durch das da sondern zweimal und jetzt müssen wir mal schauen was wir hiermit machen Beispiel wenn wir sowas hätten wie 4 ge x hoch 7 nor mal
- als Beispiel dann kann man das in ein Produkt umschreiben indem man die vier nimmt nicht durch sondern mal schreibt und dann muss man aber die Hochzahl hier
- Anpassen von dieser Potenz also machen wir x hoch und dann muss man da immer ein Minus vorne dran setzen also wird es zu -7 in unserem Beispiel heißt das wir
- haben hier zwei geteilt gehabt machen zweim mal draus wir nehmen diese Potenz so wie sie da steht aber aus der Hochzahl da müssen wir ein Minus vorne
- dran setzen also machen wir ein - ein dritt draus und damit ist das Ding jetzt wirklich perfekt vorbereitet um abgeleitet zu werden wir haben keine
- Wurzeln mehr wir haben keinen Bruch mehr hier können wir jetzt schön reingehen so da steht's jetzt wieder dann gehen wir mals ableiten wir haben schon
- festgestellt dass wir das ganze mit der Kettenregel ableiten müssen da wir hier was Äußeres haben den LN der umschließt diesen ganzen Teil hier drin
- also die Kettenregel sagt leite das Äußere einmal ab das ist das grüne das müssen wir ableiten und multipliziere das dann mit der Ableitung von dem was
- drin ist also das orangene müssen wir dann noch ableiten dann gehen wir mal ran auch wenn es schlimm aussieht wir gehen mit den ganz normalen Regeln rein
- das heißt der LN abgeleitet das ist das erste ignoriert dann das was da orange was da drin steht das das fassen wir nicht an ihr kümmert euch nur um die
- Idee der LN wenn ich den ableiten möchte wie ist da die Regel für und da machen wir uns kurz Überlegung wie ist das wenn wir den LN von X ableiten wenn da
- wirklich nur ein X drin stehen würde dann ist die Regel so dass das zu einem 1 durch x wird ganz wichtig das was da drin steht landet auch wieder hier das
- ist bei X halt nicht so auffällig ne aber das wird gleich hier auffällig werden okay dann leiten wir mal das grüne ab das heißt LN abgeleitet wissen
- wir wird zu 1 geteilt durch großer Bruchstrich denn da kommt jetzt alles in den Nenner was im Logarithmus stand und das ist halt ein Haufen Zeug aber wir
- schreiben alles was im Logarithmus stand einfach in den Nenner rein ohne es abzuändern wenn ihr die grüne Ableitung macht dann ignoriert ihr das orangene
- ihr schreibt es dort an die Stelle wo es hier bei den standardableitungen hingehört das was drin stand landet hier aber ihr ändert
- es nicht das orangene wird nämlich jetzt angefasst denn die Kettenregel sagt nicht vergessen das Innere müsst ihr auch noch
- abbleiten das heißt wir dürfen jetzt dann das grüne ignorieren und jetzt wird wirklich nur das orangene einmal abgeleitet machen wir uns ein bisschen
- Platz und überlegen mal wie das aufgebaut ist wir haben nur das orangene schauen wir uns jetzt an zweimal und dann diesen Teil hier wir
- brauchen jetzt nicht die Produktregel die Produktregel brauchen wir nur wenn hier vorne in dem Teil auch ein X drin gewesen wäre da steht aber nur eine Z
- das macht uns so einiges einfacher denn dann können wir das einfach so ableiten die zwe bleibt beim Ableiten einfach da also in zweimal wird einfach übernommen
- und jetzt müssen wir uns nur noch um den hinteren Teil hier kümmern und den schreibe ich mal hier an die Seite denn da seht ihr das wie das jetzt schon
- wieder aufgebaut ist seht ihr dass wir hier einen hoch- 1 dritt Teil außen haben und innen drin in dieser Klammer eine andere Funktion wir haben hier
- jetzt schon wieder müssen wir die Kettenregel anwenden die kennen wir schon aber wir wenden jetzt die Kettenregel in der Kettenregel an aber
- das kriegen wir hin also das hier ableiten wir machen uns eine kleine Skizze Kettenregel sagt nimm das Äußere das grüne und leite es ab und
- multipliziere es mit dem inneren also der Ableitung von dem orangenen gehen wir rein wie sieht's mit dem äußeren aus ignoriert das was drin steht dieses
- hoch- 1 dritt wie leitet man sowas ab wenn wir sowas hätten wie x hoch 5 na ja dann wissen wir dass die Hochzahl nach vorne wandert die 5 und die Hochzahl
- dann eins kleiner gemacht wird zu einer vi das ist die normale Regel und bei Brüchen ist das ganz genauso die die Hochzahl kommt nach vorne also die - 13
- wandert vorne dran dann kommt der Teil den wir nicht anfassen diese 2x hoch 2 das Innere bleibt so und die Hochzahl wird dann eins kleiner gemacht - 1 muss
- -1 gerechnet werden -1 können wir zu -1 in Bruch erstmal schreiben dann brauchen wir dieselben Nenner das heißt hier können wir 33 draus machen und dann
- sindinander gleich -1 -3 sind -4 und die Drittel bleiben und das ist unsere neue Hochzahl die um eins verringert wurde das war jetzt die grüne Ableitung das
- Äußere wir müssen es aber noch multiplizieren und das vergisst man super schnell mit dem orangenen das muss jetzt noch einmal abgeleitet werden ist
- aber so aufgebaut wie eben hier das auch 2 x x hoch 2 bedeutet die 2 bleibt beim Ableiten und x hoch 2 die 2 wandert wieder nach vorne und die Hochzahl wird
- eins kleiner gemacht aus der x hoch 2 wird ein x hoch 1 können wir aber auch dann einfach weglassen 2 x 2 können wir dann auch zu einch 4 direkt schon mal
- umschreiben und das ist jetzt die Ableitung die uns noch gefehlt hat hier unten von dem orangenen ne das war unsere Nebenrechnung hier sind mal da
- mache ich noch mal minus hier noch einfach eine Klammer drumrum und dann ist das hier unsere Ableitung erstmal da können wir noch ein bisschen was
- verschönern die habe ich jetzt noch mal hier hineschrieben und damit wir damit ordentlich weiter rechnen können vereinfachen wir hier noch ein bisschen
- was wir können die zwei mit der zwei hier unten kürzen dann von den Zahlen haben wir hier die - 13 die mit der 4x hier multipliziert wird können wir - 13
- x 4 sind -43 und das X noch hinten dran rausmachchen dann von dem Rest ist gar nicht mehr so viel da seht ihr das hier
- in dem Bruch im Nenner nur der Teil übrig ist und hier dieser Teil das praktische ist dass die Basen gleich sind das heißt wir können die mit den
- potenzgesetzen zusammenfassen wir haben hier also im Grunde einen Bruch das was da vorher im Nenner stand schreiben wir jetzt auch noch mal in den Nenner rein
- und hier oben kommt eben ein mal das dahin also diese zweite Potenz da die schreiben wir dann hier oben hin und gucken jetzt mal wie das Potenzgesetz
- noch mal war wie wir das ausrechnen können das sagt nämlich wenn wir x hoch a teilen wollen durch x hoch B also die Basen sind gleich das was wir hier haben
- dann können wir das machen indem die Basis bei X bleibt und die Hochzahlen wenn einfach voneinander abgezogen a - B gerechnet und das wenden wir hier jetzt
- mal an die -4/3 x die können wir da vorne stehen lassen die sind gut aber jetzt die Basis bleibt also die heißt bei uns 2x hoch 2 und die Hochzahlen
- ziehen wir voneinander ab die obere Hochzahl heißt -43 wird gerechnet min die untere Hochzahl die 1 dr Minus und Minus wird
- zu+ dann haben wir hier also -4 + 1 sind -3 dr bleibt 3 dur 3 sind 1 und dann können wir hier das noch bisschen verschönern hoch -1 kann man nämlich
- noch umschreiben wir haben jetzt eine negative Hochzahl müssen wir nicht so stehen lassen da können wir noch ein bisschen was machen und zwar hier vorne
- das lassen wir immer noch stehen aber hier sobald wir auf eine negative Hochzahl stoßen können wir aus diesem Ausdruck hier einen Bruch schreiben das
- hatten wir eben schon in der anderen Richtung jetzt machen wir was anders rum wir wollen die negative Hochzahl nicht mehr haben also schreiben wir 1 geteilt
- durch die ein hat jetzt auch nichts mit der ein zu tun es ist immer ein geeilt durch und dann schreibt man diese Potenz noch mal genauso ab wie sie da steht
- aber nicht mehr mit der negativen Hochzahl da macht man einfach nur ein Hoch 1 jetzt in unserem Fall draus hoch 1 können wir dann auch weglassen also
- schreiben wir es einfach nur so so und dann können wir noch ein bisschen was kürzen die 4 mit der 2 4 dur 2 sind 2 dann hier ist hier ein X dann können wir
- eins hier unten wegstreichen und das war's dann dann haben wir das Minus hier beim Bruch haben wir nur die zwei im Zähler und im Nenner haben wir hier
- vorne die drei und hier noch ein X was nicht vergessen dürfen und dann ist das hier unsere süße kleine kompakte Ableitung von unserem riesenausdruck am
- Anfang dann hoffe ich dass euch geholfen hat falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare ansonsten euch noch einen wunderschönen Tag und wir
- sehen uns beim nächsten Video macht's gut
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