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LIMES Grenzwert berechnen – Grenzwerte von Funktionen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 88 Zeilen
- hallo ihr lieben in diesem video möchte ich ein paar beispiele mit euch durch gehen wie man grenzwerte von funktionen berechnen kann
- und lass uns mal hier vorne mit dem ersten beispiel starten wo wir hier eine relativ umfangreiche funktionen bekommen und wir sollen den grenzwert berechnen
- wenn ich's gegen unendlich läuft also wenn man nix immer größer wird dann schauen wir das jetzt einfach mal schritt für schritt hier drin an wir
- können jedes teil hier einzeln betrachten also wir starten hier vorne mit der 7 was passiert wenn ich es immer größer wird na ja das ist ja der sieben
- völlig egal weil da ist ja gar keine nix drin nur iks ändert sich ja die sieben blätter von wirklich sehr unbeeindruckt und läuft weiterhin immer noch gegen
- sich selbst gegen die 7 aber hier in dem teil kommt jetzt zum ersten mal eine nix vor und dieser bruch wird natürlich wird sich verändern wenn das ixs immer größer
- wird was passiert auf lange sicht wenn man immer größer wird das soll also gegen unendlich laufen das heißt mein kleines iks läuft gegen unendlich das
- wissen wir aber was passiert dann mit 1 durch unendlich dass diese zahl also 1 durch etwas was riesengroß ist 1 durch 10.000.000 1 100 millionen das wird
- immer kleiner also da kommt 000 000 1 raus also läuft 1 durch unendlich gegen null probiert es gerne aus mit einem taschenrechner
- funktioniert auf jeden fall je größer die zahl unten wird desto näher komme ich an die 0 rein also ihr merkt euch ab sofort sobald ihr auf 1 durch unendlich
- stoßt dann läuft dieser bruch insgesamt gegen null dann habe ich jetzt schon mal informationen hier vorne die ich benutzen kann ich solle den grenzwert
- ausrechnen hier vorne wissen wir der grenzwert ist 7 und hier der grenzer ist null also 7 - 0 hätte ich schon mal von der ersten klammer dann schauen wir mal
- was uns die zweite klare bringt die drei ja da ist gar keine nix drin auch die bleibt einfach bei der 3 was passiert hier hilft nur zum teil
- was haben wir hier das ixs läuft gegen unendlich okay das ist aber nur das kleine iks dann habe ich ja immer noch ein plus eins stehen also was verändert
- ein unendlich +1 gar nix da bleibt das unendlich sehr unbeeindruckt von dieser einst das läuft dann immer noch weil das ist ja riesengroß das macht dieses plus
- 1 auch nichts mehr aus das läuft insgesamt immer noch gegen unendlich dieser nenner was haben wir dann hier für ein szenario von dem ganzen bruch 2
- durch unendlich was haben wir eben gesehen wenn oben die zahl konstant ist also hier war es nur eins aber hier ist es eine zwei siege
- und wir teilen durch etwas riesengroßes auch das läuft dann gegen null also wenn oben eine zahl steht egal wie groß die ist da kann 500 millionen stehen soll
- bald wird durch unendlich teilen sozusagen läuft das ganze gegen null als auch diese großen bruch läuft gegen null dann hätten wir hier 1 +0 von der grenze
- betrachtung jetzt müssen wir das nur noch ausrechnen 707 mal die drei hier hinten wären 21 und das wäre unser grenzwert also
- einfach stück für stück betrachten und gucken ob da was ordentliches rauskommt dann schauen wir uns jetzt das zweite beispiel an wir
- haben hier einen großen bruch der erstmal abschreckend ist am anfang aber wir gehen genau so wie eben schritt für schritt erst mal vor unser ex soll gegen
- unendlich laufenden dann schon mal in dem zähler steht gar kein iks okay der läuft dann also gegen eins sowie eben ja auch diese einzelnen zahlen laufen
- wieder entgegen sich selbst aber unten passiert ein bisschen hast das ixs soll also ging unendlich laufen also läuft diese six hier schon mal ging unendlich
- das ist ja gut schau mal was hier dann noch abgezogen werden soll das kleine iks hier läuft gegen unendlich dann hätten wir hier hinten 1 1 durch
- unendlich das wissen wir jetzt dass das gegen null läuft und damit hätten wir im nenner hier unten unendlich -0 was insgesamt immer
- noch dann bei unendlich bleibt weil wir von unendlich halt nix abziehen dann bleiben bei unendlich übrigens selbst wenn ihr von unendlich 3
- abgezogen hätten das interessiert es unendlich auch nicht wirklich dass es so stark dass würde dann immer noch gegen unendlich laufen also egal was wir von
- unendlich abziehen das bleibt bei unendlich egal welche zahl wir von unendlich abziehen wenn wir unendlich - unendlich hätten dann sieht die welt
- noch mal ein bisschen anders aus aber unendlich - eine zahl bleibt bei unendlich unendlich ist einfach unglaublich stark was haben wir dann
- insgesamt oben die einst durch unendlich da kann uns jetzt keiner was vormachen das wissen wir dass das insgesamt gegen null läuft und damit hätten wir unseren
- grenzwert berechnet dann schauen wir uns jetzt mal das dritte beispiel an da wartet einbruch auf uns und wenn wir genauer hinschauen dann sehen wir dass
- das ixs diesmal nicht gegen unendlich laufen soll sondern gegen eine zahl gegen - 2 und da gibt es aufgaben die es ganz schön in sich haben die aufgabe ich
- jetzt noch nicht die ist noch ganz nett wir setzen die -2 aber trotzdem erst mal ein und gucken was überhaupt passiert also wirklich für jede six was ihr habt
- setzt die zahl ein und schaut ob es überhaupt schlimm ist was da rauskommt also berechnet zweimal - 23 - achtmal - 2 wenn ihnen das im zähler macht kommt
- ihr auf null und dasselbe machen wir im nenner da steht dann 2 - 2 sind auch 0 okay die situation ist nicht so gut weil wir haben 0 durch 0 und da wissen wir
- nicht was passiert der situation nicht sehr gut gewesen wäre wären zum beispiel wenn ihr oben eine 4 rausbekommt unten in der name 5 und dann wäre das hier
- schon euer konzept gewesen also sobald da eine zahl rauskommt wenn ihr hier die zahl einsetzt dann seid ihr schon fertig und das ist euer grenzwertes deswegen
- probiert das schon immer mal um zu gucken was da überhaupt passiert bei uns 0 durch 0 da kann jetzt wirklich alles passieren es gibt zum beispiel die regel
- von digital die euch jetzt hier in diesem fall sehr schnell helfen würde den grenzer zu finden allerdings lernen nicht alle die regel von digital oder
- dürfen sie nicht immer anwenden deswegen suchen wir jetzt einfach mal nach alternativen wir schauen mal wie wir hier unsere funktion bisschen ja
- vereinfachen können ob man etwas kürzen kann ob man was ausklammern kann gucken mama das kann man aus dieser funktion machen im zähler zum beispiel können wir
- tatsächlich nx ausklammern weil in beiden teilen ein ex trainer ist also ziehen wir mal eins raus und gucken was übrig bleibt da wäre die
- zwei und iks quadrats dann wenn wir einig rausziehen und hinten wäre nur die acht noch da unten im jänner können wir gar nichts machen weil da kann man nix
- raus ziehen ok hat jetzt noch nicht so wirklich was verändert deswegen müssen mal gucken ob man hier vielleicht noch was ausklammern könnte und es kann man
- auch jetzt keine nix aber die zahlen zum beispiel zwei ist in beiden teilen drin dann lasst uns die doch auch noch raus ziehen also nicht nur das aussehen
- sondern auch noch nichts weiß dann was bleibt übrig das ixs quadrat und hinten 8 durch zwei wären 4 ok
- das erinnert uns jetzt aber sehr stark vielleicht an die dritte genomische formel die uns sagt was können wir daraus machen
- ich fahr rad - vier wenn wir die dritte genomische formel rückwärts anwenden wäre das ixs - 2 x iks
- +2 so ist er die dritte genomische formel aufgebaut mit zwei klammern einmal mit einem - einmal mit einem plus und hier muss man einfach die wurzel
- ziehen um auf die zahl zu kommen okay das ist doch jetzt aber auch eine andere geschichte weil schaut mal 2 plus xx +2 das ist dasselbe
- das kann man jetzt oben und unten wegstreichen und unsere funktion von hier oben die können wir jetzt umschreiben stadt diesen riesen bruch
- haben wir gesehen dann kürzen und es bleibt im grunde nur dass hier übrig und hiervon jetzt den grenzwert zu berechnen da würden wir die - 22 wirklich nochmal
- einsätzen zweimal - zwei wären - vier mal - 2 - zweitens - 4 und die beiden multipliziert werden 16 und dann hätten wir unseren grenze gefunden also schaut
- ob ihr etwas ausklammern können damit ihr kürzen könnt damit der bruch nicht mehr da ist und ihr die zahlen tatsächlich einfach einsetzen könnte und
- ihr habt gesehen 0 durch 0 bedeutet hier in dem falls tatsächlich grenzwert 16 also da kann wirklich alles passieren alles was irgendwie existiert da kann
- man keine aussage machen dann kommen wir jetzt zum letzten beispiel da haben wir auch wieder ein bruch unterwegs soll jetzt wieder ging nun endlich laufen
- schauen wir uns mal an was da passiert wenn nix gegen unendlich läuft schauen wir uns erstmal den zähler an dann läuft ja nix geht nun endlich das hoch 2
- ändert daran nichts das ist unendlich mal unendlich es bleibt immer noch bei unendlich die x 3 doch da nix also hier vorne mehr ganze zeit läuft gegen
- unendlich und die - fünf männer daran immer noch nix also der ganze zähler läuft gegen unendlich mit genau derselben argumentation läuft auch der
- komplette nenner gegen unendlich unendlich durch unendlich ist genauso eine schlechte situation wie 0 durch 0 was wir eben hatten mit der regel von
- der lippe könnte man auch das jetzt wieder superschnell und super einfach lösen wollen wir hier aber nicht machen denn ganz am anfang hat man die regeln
- halten auch noch nicht und da muss man halt andere wege finden was wäre noch möglich hier ist es jetzt so hier kann man jetzt
- nicht wirklich was ausklammern wir würden es aber trotzdem gerne tun und das führt am anfang normalerweise erst mal zu großer verwirrung
- wir haben im zellertal potenz die phonix vorkommt ist die zwei also iks hoch zwei hätten wir das größte das wollen wir mal ausklammern also das xo 2 wollen wir
- ausklammern und jetzt sagen einige von euch ja hier vorne kann ich das herausziehen aber da hinten ist doch gar keins und das ist eben der punkt der ein
- bisschen verwirrend ist am anfang also abermals hoch zwei rausziehen bedeutet hier vorne bleibt nur die drei übrig weil wir ja 3x quadrat durchs quadrat
- geteilt haben als ergebnis ist das 3 und da hinten ja auch da wollen wir nichts quadrat heraus ziehen wollen also 5 durch iks quadrat teilen und das
- ergebnis schreiben wir einfach genauso hin 5 durch iks quadrat falls ich dass er total komisch vorkommt geht einfach nochmal den umgekehrten weg
- multipliziert ist hier noch mal zurück giggs quadrat mal den da da hat sich das heraus und nur die fünf bleibt übrig so wie sie da am anfang bestand also man
- kann dinge schon ausklammern auch wenn sie nicht drin sind sozusagen dann muss man es aber so hinschreiben was einem aber wirklich nur bei den grenzwerten
- hilft sonst bei gleichungen umformen bringt das gar nichts aber hier bei grenzwerten ist es super dass nämlich gleich dasselbe machen wir unten die
- höchster potenz klammern wir aus das wäre auch hier wieder das ixs quadrat was bleibt übrig hier vorne nur die 2 und hier hinten war gar kein extra drin
- wir rechnen vier durch das ixs quadrat und schreiben das einfach so hin so was hat das ganze jetzt gebracht erstmal können wie hier asics quadrat kürzen das
- ist schon mal super gut ist gar nicht mehr im spiel und dann können wir jetzt noch mal neu von vorne xg nun endlich laufen lassen und uns dass man
- betrachten was da passiert die drei wissen wir läuft gegen die drei da ist kein extrem hier der teil den kennen wir mittlerweile
- hier unten das läuft ging unendlich 5 durch unendlich wissen wir läuft gegen null das ist ja mal super dinge die gegen null laufen sind sehr angenehm
- hier unten die zwei mit der passiert nix aber auch hier hinten 4 durch unendlich läuft gegen null also insgesamt hätten wir oben 3 - 0 und 1 2 + 0 lasst es uns
- ausrechnen drei halbe und das ist unser grenzwert also wenn diese gebrochen rationalen zahlen so vorkommen könnt ihr dinge ausklammern
- und dann die grenze betrachtung noch mal neu machen nachdem ihr gekürzt habt weil dann machen diese dinge hier nämlich keine probleme mehr und hier eure brüche
- laufen gegen null und ihr könnt es ausrechnen solche gebrochen rationalen funktionen könnte man auch jetzt hier in dem fall mit polen um die vision lösen
- machen tatsächlich einige also wenn ihr dafür zeit dann teilt diese funktion einfach durcheinander also 3x quadrat - 5 durch den nenner und da kommt ihr auf
- das ergebnis dass das so aussieht also man muss halt mit rest dann teilen die geht nicht perfekt auf aber das hier käme raus und wenn ihr hier jetzt die
- grenze betrachtung macht seht ihr auch dass der teil hier gegen unendlich läuft insgesamt hier hinten dieser bruch dann gegen null weil wir eben elf durch
- unendlich haben und hier vorne die drei heime bleiben einfach übrig und das wäre auch unser grenzwert dann hier in dem fall genauso wie hier also es gibt viele
- möglichkeiten tatsächlich jetzt drei also ihr hättet noch die regel von digital zur verfügung ist wahrscheinlich auch das problem warum man da oft so
- durcheinander kommt weil es einfach so viele wege gibt dann hoffe ich dass ich trotzdem geholfen hat uns dass wir uns beim nächsten wiedersehen macht's gut
- und hat noch einen schönen tag