Teilgebiete der Mathematik

Gegenstand und Zusammenhang der Teilgebiete

Der Artikel gibt einen Überblick über die wichtigsten Teilgebiete der Mathematik. Charakteristisch ist ihr enger Zusammenhang: Zwischen den Gebieten bestehen zahlreiche, oft überraschende Querverbindungen, sodass jede Einteilung nur eine begrenzte Orientierung bietet. Bibliotheken und Zeitschriften verwenden unterschiedliche Klassifikationen mathematischer Themen; besonders verbreitet ist die Mathematics Subject Classification.

Eine grobe Gliederung der Kerngebiete orientiert sich an Bourbakis Éléments de Mathématique. Zu ihnen gehören Logik und Mengenlehre, Algebra, Analysis und Topologie. Daneben gibt es zahlreiche weitere Gebiete, die diese Kernbereiche verbinden oder spezielle Fragestellungen behandeln.

Logik, Mengenlehre und Algebra

Die Logik untersucht die Regeln des korrekten Schließens. In der mathematischen Logik wird sie formalisiert, damit einzelne Beweisschritte isoliert und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen dargestellt werden können. Diese Folgen lassen sich anschließend mit mathematischen, etwa arithmetischen, Mitteln untersuchen. Bei axiomatischen Theorien stehen besonders ihr widerspruchsfreier Aufbau und ihr Verhältnis zueinander im Mittelpunkt. Daraus entstanden vielfältige Teilgebiete und Anwendungen, unter anderem Beweissysteme der Informatik.

Die Mengenlehre befasst sich mit Mengen, insbesondere mit unendlichen Mengen. Nachdem sich die naive Mengenlehre als unhaltbar erwiesen hatte, gewann die mathematische Logik stark an Bedeutung. Heute dient die Mengenlehre als gemeinsame Sprache der Mathematik. Ergänzend entwickelte sich seit den 1940er-Jahren die Kategorientheorie aus der algebraischen Topologie.

Die moderne Algebra entwickelt aus Mengen mit einer inneren Operation, sogenannten Magmen, schrittweise grundlegende algebraische Strukturen: Monoide, Gruppen, Ringe und Körper. Diese Strukturen treten unter anderem bei verschiedenen Zahlmengen auf. Eng verbunden sind Polynome sowie Moduln und Ideale. Die Lineare Algebra untersucht insbesondere Moduln; im einfachsten Fall sind dies Vektorräume, also Moduln über Körpern, meist über ℝ oder ℂ. Die multilineare Algebra behandelt unter anderem Tensorprodukte. Weitere Zusammenhänge bestehen zur Ringtheorie, zur homologischen Algebra und zur Invariantentheorie.

Die Galoistheorie untersucht ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit algebraischer Gleichungen Körpererweiterungen und führt dabei zur Gruppentheorie. Wichtige algebraische Teilgebiete sind außerdem Darstellungstheorie, Gruppentheorie, kommutative Algebra, Verbandstheorie und universelle Algebra.

Analysis und Topologie

Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen, von den Zahlkörpern ℝ und ℂ bis zu Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen. Im Zentrum steht die Infinitesimalrechnung: Die Differentialrechnung beschreibt mithilfe der Ableitung das Verhalten einer Funktion im Kleinen. Integralrechnung und Differentialgleichungen ermöglichen es umgekehrt, aus Ableitungen auf Funktionen zu schließen. Neben rationalen Funktionen gehören Exponentialfunktionen und viele spezielle Funktionen, die durch Differentialgleichungen oder Potenzreihen gegeben sind, zum Gegenstand.

Die Funktionentheorie beziehungsweise komplexe Analysis untersucht Funktionen, die ℂ in ℂ abbilden und komplex differenzierbar sind. Solche Funktionen sind stets analytisch, also in kleinen Bereichen durch Potenzreihen darstellbar. Auf Mannigfaltigkeiten wird die Analysis mithilfe lokaler Karten betrieben. Eine Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff-Raum mit einem Atlas aus kompatiblen Karten, die Umgebungen seiner Punkte in einen Modellraum abbilden. Zentrale Begriffe sollen dabei intrinsisch, also unabhängig von den konkret verwendeten Karten, definiert werden. Der Satz von Stokes verallgemeinert den Fundamentalsatz der Analysis. Anwendungen erscheinen unter anderem als Vektoranalysis und Ricci-Kalkül in der Physik. Mit zusätzlichen Strukturen, etwa bei riemannschen Mannigfaltigkeiten, führt dies zur Differentialgeometrie.

Die Maßtheorie entstand Anfang des 20. Jahrhunderts unter Einbeziehung topologischer Begriffe aus Fragen nach Maß und Gewicht. Sie bildet die Grundlage des modernen Integralbegriffs und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Funktionalanalysis entwickelte sich ungefähr zur selben Zeit aus der Untersuchung von Integral- und Differentialgleichungen. Sie untersucht Funktionenräume und Abbildungen zwischen ihnen, die Operatoren heißen. Frühe Beispiele sind Banach- und Hilbert-Räume.

Die Topologie untersucht topologische Räume und ihre Eigenschaften. Grundbegriffe sind Zusammenhang, Stetigkeit und Grenzwert; weitere zentrale Themen sind Trennungseigenschaften und Kompaktheit. Uniforme Räume verallgemeinern metrische Räume, indem ihre Topologie über eine Art von Abstand festgelegt wird. Mit Cauchy-Filtern lassen sich Vollständigkeit und Vervollständigung untersuchen. Metrische Räume sind uniforme Räume, deren Topologie von einer Metrik abgeleitet wird.

Topologische Gruppen, Ringe und Körper besitzen zusätzlich zu ihrer algebraischen Struktur eine Topologie, bezüglich derer ihre Verknüpfungen stetig sind. Die reellen Zahlen entstehen als Vervollständigung der rationalen Zahlen ℚ bezüglich der vom Standardbetrag bestimmten Topologie. Verwendet man stattdessen für eine feste Primzahl p den p-adischen Betrag, erhält man als Vervollständigung den Körper der p-adischen Zahlen. Topologische Vektorräume, insbesondere lokalkonvexe Räume und ihre Dualräume, sind für Analysis und Funktionalanalysis grundlegend. Ein wichtiges weiteres Gebiet ist die algebraische Topologie.

Geometrische und algebraische Verbindungen

Die algebraische Geometrie untersucht algebraische Gleichungssysteme mit Methoden der Algebra und steht in engem Zusammenhang mit kommutativer Algebra und Zahlentheorie. Die ältere Theorie befasste sich bis etwa 1950 mit algebraischen Varietäten, also Lösungsmengen algebraischer Gleichungssysteme im affinen oder projektiven komplexen Raum. Später wurden Fragestellungen und Methoden stark verallgemeinert.

Die algebraische Topologie entstand aus dem Problem, topologische Räume zu klassifizieren. Sie untersucht heute zugespitzt Funktoren von topologischen in algebraische Kategorien. An die Stelle rein numerischer Invarianten wie Dimension und Betti-Zahlen trat dabei die Untersuchung der zugrunde liegenden algebraischen Objekte. Die Differentialtopologie ist die Topologie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Die Differentialgeometrie untersucht Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte mit Methoden der Differentialrechnung. Die Riemannsche Geometrie wird für die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigt. Die Geometrie umfasst außerdem die euklidische, nichteuklidische und synthetische Geometrie. Ein großer Teil der klassischen Geometrie wird heute mit algebraischen oder topologischen Methoden erforscht.

Die Darstellungstheorie beschreibt Gruppen, Algebren oder Lie-Algebren durch lineare Abbildungen auf Vektorräumen. Verfügt man über hinreichend viele Darstellungen, kann das algebraische Objekt vollständig durch sie beschrieben werden; zugleich spiegelt die Struktur der Darstellungen Eigenschaften des Objekts wider. Die Gruppentheorie untersucht Gruppen und trennt dabei die konkrete Darstellung eines Objekts von seiner inneren Struktur, den Gruppengesetzen. Die kommutative Algebra ist die Algebra der kommutativen Ringe und der Moduln über ihnen; sie bildet ein lokales Gegenstück zur algebraischen Geometrie.

Lie-Gruppen verbinden Gruppenstruktur und Topologie. Sie sind Mannigfaltigkeiten und beschreiben kontinuierliche Transformationen, beispielsweise Rotationen und Translationen. Die komplexe Analysis untersucht Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher. Dieses Gebiet entfaltete sich besonders seit den 1940er-Jahren.

Diskrete, angewandte und numerische Gebiete

Die Diskrete Mathematik untersucht endliche oder abzählbar unendliche Strukturen. Zu ihren Bereichen und Berührungspunkten gehören Kombinatorik, Zahlentheorie, Kodierungstheorie, Mengenlehre, Statistik, Graphentheorie, Spieltheorie und Kryptographie. Die Experimentelle Mathematik liegt zwischen klassischer Mathematik und numerischer Mathematik.

Die Geomathematik fasst mathematische Methoden zur Bestimmung geophysikalischer oder geotechnischer Größen zusammen. Da häufig Satellitendaten ausgewertet werden, sind insbesondere Verfahren zur Lösung inverser Probleme wichtig.

Die numerische Mathematik konstruiert und analysiert Algorithmen zur Lösung kontinuierlicher mathematischer Probleme. Während solche Verfahren ursprünglich für Rechnungen per Hand gedacht waren, werden sie heute vor allem mit Computern ausgeführt. Wichtige Hilfsmittel sind Approximationstheorie, Lineare Algebra und Funktionalanalysis. Im Mittelpunkt stehen Effizienz und Genauigkeit sowie die Berücksichtigung der bei Rechnungen entstehenden Fehler.

Die Funktionalanalysis untersucht topologische Vektorräume, beispielsweise Banach- und Hilbert-Räume, sowie Funktionale und Operatoren auf diesen Räumen. Operatoren spielten unter anderem eine wichtige Rolle bei der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik. Die Philosophie der Mathematik hinterfragt schließlich die Methoden der Mathematik.

Stochastik und Zahlentheorie

Die Stochastik umfasst Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Theorie stochastischer Experimente. Zu einem gegebenen Experiment soll die Verteilung einer Zufallsvariablen bestimmt werden; außerdem sollen Prognosen über zukünftige Ereignisse möglich werden. Die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie ist seit den Arbeiten Andrei Kolmogorows eine wichtige Anwendung der Maßtheorie.

Die mathematische Statistik baut darauf auf. Wenn ein Experiment nur unvollständig bekannt ist, versucht sie anhand einer Stichprobe auf die zugrunde liegende Verteilung zu schließen. Im Mittelpunkt stehen die Bestimmung von Parametern, die Schätztheorie, und die Klassifikation von Fällen, die Entscheidungstheorie. Diese Aufgaben werden als Optimierungsprobleme formuliert, was für die Statistik charakteristisch ist. Weitere Gebiete sind Ergodentheorie, statistische Mechanik, Informationstheorie und Operations Research.

Die Zahlentheorie, auch Arithmetik genannt, untersucht die überraschenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen. Zentrale Fragen betreffen Teilbarkeit und Primalität; auch viele mathematische Spiele gehören zu diesem Gebiet. Zahlentheoretische Sätze sind häufig einfach zu formulieren, aber schwer zu beweisen. Heute unterscheidet man nach den verwendeten Methoden unter anderem elementare, analytische, algebraische, geometrische und algorithmische Zahlentheorie. Mit der Entwicklung der asymmetrischen Kryptographie gewann die Zahlentheorie auch praktische Bedeutung.