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Differenzierbarkeit an einer Stelle, Grenzwert existiert,Differentialquotient | Mathe by Daniel Jung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 24 Zeilen
- Ja, wann ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar? Ich möchte den fachchinesischen Satz eigentlich deutlich machen in Schaubildern. Erstmal
- fachinesisch. Es existiert limes x gegen x0. Das ist die Stelle, an der ihr untersuchen sollt. Da steht dann da auch meistens, untersuchen Sie an der Stelle
- x0 = 1, ob eine Funktion f(x) = x² differenzierbar ist. Hier steht ja der Differenzenquotient. Und wenn ich bei diesem
- Differenzenquizent, das solltet ihr vorher schon gemacht haben, wenn ich dort jetzt x zu x0 wandern lasse, dann kriege ich ja f str von x0 die
- Steigung an dieser Stelle heraus. Und man darf jetzt nicht nur einfach das betrachten, man muss im Prinzip sich deutlich machen, dass man von rechts und
- von links an diese Stelle rangehen muss. Und nur wenn von beiden Seiten ausgesehen das gleiche herauskommt, dann ist die Funktion differenzierbar. Ich
- mache das mal deutlich an der erstmal einfachen Funktion x², da fangen die meisten ja auch immer mit an. an der Stelle 1. Ich meine, hier sieht man es
- relativ gut, wenn ihr jetzt zeichnet, ja, wenn ich jetzt von links rangehe, dann bin ich hier bei einer Steigung, die ja von rechts so wie es aussieht,
- genau das gleiche ist. So hat man ja auch angefangen, um an die Steigung in einem Punkt zu kommen. Also entweder geht ihr von rechts ran oder von links
- ran. Entweder mit der Hmethode oder wie in diesem Fall jetzt mit x geht zu x0 in diesem Fall an die Stelle 1. Wenn ihr dann schreibt rechts limes, ich gehe
- also von rechts ran x gegen 1 für entsprechend fx - f von 1 dur x - 1. Warum diese Geschichte? Wir haben einmal den Punkt 1
- F von 1 und etwas weiter rechts liegt x f von x. Das ist ja alles geklärt in den Paketen von Sekantensteigung zur Tangentensteigung mit welcher Methode
- auch immer. Ihr würdet hier herausbekommen die Steigung 2 an der Stelle 1. Und das könnt ihr genauso gut von der linken Seite machen. Ich
- schreibe hier auch ein x hin, weil das die Methode ist. Ich nehme allgemein x und gehe an ran. Nur jetzt gehe ich von links an die Geschichte ran gegen eins.
- Hier mache ich mal jetzt Gänsefüßchen, weil ich faul bin. Kommt auch zwei raus. Ja, es kommt bei beiden zwei raus. Diese Funktion ist differenzierbar,
- weil ja hoffentlich hoffentlicherweise ihr vorher auch durchgenommen habt, dass sie dort stetig ist. Jetzt nehme ich mal so ein typisches Paket. Ihr habt wieder
- x², aber dann geht's so weiter. Also, es soll jetzt nicht die Form der Parabel sein, sondern eine Gerade. Dann steht ja immer gerne h
- von x = und bis zur Stelle 1, also x kleiner = 1, gilt x² und ab dann gilt die Funktion 2x. Und wenn ihr jetzt an der Stelle
- untersucht rechtsseitiger und linksseitiger Limis, müsst natürlich dann h von x nehmen. An dieser Stelle, wenn ihr von rechts rangehen würdet,
- dann gilt jetzt diese Funktion, also 2x. Ihr untersucht und bekommt heraus, die Steigung ist wieder 2. Und wenn ihr von links rangeht, dann braucht ihr jetzt
- die gesamte Funktion lautet hier h von x. Sie unterteilt sich ja eben in diese beiden Pakete. Dann braucht ihr die Geschichte hier und dafür wird auch
- wieder zwei rauskommen. Dann könnt ihr sagen, an der Stelle x0 = 1 für dieses für diese Funktion unterteil die beiden Pakete
- für diese Funktion oder diese Funktion ist an der Stelle x0 = 1 differenzierbar. gleiche Steigung, sowohl von links als auch von rechts
- rangegangen.
Zum Nachlesen
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