Netz (Topologie)

Grundidee und Bedeutung

Ein Netz, auch Moore-Smith-Folge genannt, ist in der Topologie eine Verallgemeinerung einer Folge. Während Folgen durch die natürlichen Zahlen indiziert sind, dürfen Netze durch beliebige gerichtete Mengen indiziert werden. Dadurch können sie in allgemeinen topologischen Räumen Konvergenz angemessen beschreiben.

In metrischen Räumen lässt sich etwa Abgeschlossenheit mit Folgen erkennen: Eine Menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder in A liegenden konvergenten Folge wieder in A liegt. In allgemeinen topologischen Räumen gilt dies nicht mehr. Beispielsweise ist A=[0,ω₁[ in X=[0,ω₁] mit Ordnungstopologie nicht abgeschlossen, obwohl jede konvergente Folge in A ihren Grenzwert in A hat.

Mit Netzen gilt die passende Aussage allgemein: A⊆X ist genau dann abgeschlossen, wenn jedes in A liegende Netz, das in X konvergiert, einen Grenzwert in A besitzt. Ebenso lässt sich Stetigkeit durch Netze charakterisieren. Eine Menge ist außerdem genau dann kompakt, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz besitzt.

Netz und Teilnetz

Für eine gerichtete Menge (I,◁ᵢ) und eine Menge X ist ein Netz eine Abbildung x:I→X. Es wird meist als (xᵢ)ᵢ∈ᵢ geschrieben. Da die natürlichen Zahlen mit ihrer gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, ist jede Folge ein spezielles Netz.

Seien (xᵢ)ᵢ∈ᵢ ein Netz und φ:J→I eine Abbildung zwischen gerichteten Mengen. φ heißt konfinal, wenn gilt:

∀ i₀∈I ∃ j₀∈J ∀ j▷ᴊj₀: φ(j)▷ᵢi₀.

Dann heißt (x_{φ(j)})ⱼ∈ᴊ ein Teilnetz von (xᵢ)ᵢ∈ᵢ. Die Bedingung bedeutet: Nach genügend großen Indizes in J erreichen die zugehörigen Indizes φ(j) beliebig weit hinten in I.

Konvergenz und Häufungspunkte

Ein Netz x=(xᵢ)ᵢ∈ᵢ in einem topologischen Raum X konvergiert gegen z∈X, wenn für jede Umgebung U von z ein Anfangsindex i₀∈I existiert, so dass alle späteren Netzglieder in U liegen:

∀ U∈𝒰(z) ∃ i₀∈I ∀ i∈I: i₀◁i ⇒ xᵢ∈U.

Man schreibt (xᵢ)ᵢ∈ᵢ→z, xᵢ→z oder z=lim_{i∈I}xᵢ. Anschaulich bleibt das Netz ab einem genügend großen Index dauerhaft in jeder vorgegebenen Umgebung von z.

Zum Netz gehört der Abschnittsfilter, der von den Mengen {xⱼ | j▷i} für i∈I erzeugt wird. Das Netz konvergiert genau dann gegen z, wenn dieser Filter gegen z konvergiert, also den Umgebungsfilter von z enthält.

z heißt Häufungspunkt eines Netzes x, wenn jede Umgebung von z an beliebig großen Positionen getroffen wird:

∀ U∈𝒰(z) ∀ i∈I ∃ j▷i: xⱼ∈U.

Äquivalent dazu ist z ein Berührpunkt des Abschnittsfilters: Der Schnitt jeder Umgebung von z mit jedem Filterelement ist nicht leer. Außerdem gilt: z ist genau dann Häufungspunkt eines Netzes, wenn ein gegen z konvergentes Teilnetz existiert.

Cauchynetze und Vollständigkeit

In einem uniformen Raum (X,Φ) heißt ein Netz x=(xᵢ)ᵢ∈ᵢ Cauchynetz, wenn seine späteren Glieder für jede Nachbarschaft N∈Φ beliebig nahe beieinander liegen:

∀ N∈Φ ∃ i₀∈I ∀ j,k▷i₀: (xⱼ,xₖ)∈N.

Zwei Cauchynetze x=(xᵢ)ᵢ∈ᵢ und y=(yᵢ)ᵢ∈ᵢ heißen äquivalent, geschrieben x∼y, wenn

∀ N∈Φ ∃ i₀∈I ∀ j,k▷i₀: (xⱼ,yₖ)∈N.

Die Vervollständigung von (X,Φ) ist C/∼, wobei C die Menge aller Cauchynetze ist. In einem vollständigen Raum konvergiert jedes Cauchynetz; äquivalente Cauchynetze besitzen dort denselben Grenzwert. Ein uniformer Raum X ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchynetz auf X konvergent ist. Als Beispiel wird der Raum der proendlichen Zahlen ℤ̂ genannt, eine Vervollständigung des uniformen Raumes der ganzen Zahlen ℤ.

Anwendungen: Abschluss, Stetigkeit und Integral

Für A⊆X ist y∈X genau dann ein Berührpunkt von A, also ein Punkt der abgeschlossenen Hülle von A, wenn es ein Netz (xᵢ)ᵢ∈ᵢ mit xᵢ∈A gibt, das gegen y konvergiert.

Für topologische Räume X und Y ist eine Abbildung f:X→Y genau dann in x∈X stetig, wenn für jedes Netz (xᵢ)ᵢ∈ᵢ gilt: Aus xᵢ→x folgt f(xᵢ)→f(x).

Netze beschreiben auch die Riemann-Integrierbarkeit. Die Zerlegungen Z=(x₀,x₁,…,xₙ) von [a,b] mit a=x₀<x₁<…<xₙ=b werden durch Verfeinerung geordnet: Z₁◁Z₂ bedeutet, dass Z₂ alle Punkte von Z₁ enthält. Für eine beschränkte reellwertige Funktion f auf [a,b] bilden Ober- und Untersumme Netze:

O(f)(Z)=∑{j=1}ⁿ(xⱼ-x{j-1})·sup_{x∈[x_{j-1},xⱼ]}f(x), U(f)(Z)=∑{j=1}ⁿ(xⱼ-x{j-1})·inf_{x∈[x_{j-1},xⱼ]}f(x).

f ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn beide Netze gegen dieselbe reelle Zahl c konvergieren. Dann ist c=∫ₐᵇf(x) dx.

Alternativ verwendet man Riemann-Summen mit einer Zerlegung und Zwischenstellen tⱼ∈[x_{j-1},xⱼ]. f ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn das Netz ∑{j=1}ⁿ(xⱼ-x{j-1})f(tⱼ) konvergiert; sein Grenzwert ist das Riemann-Integral. Dieser Zugang funktioniert auch für vektorwertige Funktionen.