Konstante Funktion

Grundidee und Definition

Eine konstante Funktion ist eine Funktion, die für alle Argumente immer denselben Funktionswert annimmt. Für eine Funktion f\colon A\to B bedeutet das: Für alle x,y\in A gilt f(x)=f(y). Kurz schreibt man f(x)=\text{constans} oder f(x)=\text{const}.

Gleichbedeutend ist: Die Bildmenge von f, also die Menge aller tatsächlich angenommenen Funktionswerte, enthält höchstens ein Element.

Charakterisierung durch Verkettung

In der Kategorientheorie lässt sich eine konstante Funktion über die Hintereinanderausführung von Funktionen beschreiben: f\colon A\to B ist genau dann konstant, wenn für alle Funktionen g,h\colon C\to A gilt: f\circ g=f\circ h.

Daraus folgt auch: Wenn für jede Funktion g\colon C\to A die Verkettung f\circ g konstant ist, dann ist f selbst konstant. Mit solchen Aussagen werden konstante Morphismen definiert.

Graph, Sonderfälle und Beispiel

Bei einer konstanten reellen Funktion f\colon\mathbb R\to\mathbb R ist der Graph eine waagerechte Gerade, also parallel zur x-Achse.

Die konstante Funktion mit dem Wert 0 heißt Nullfunktion oder Nullabbildung. Ihre Ableitung ist sowohl in der reellen als auch in der komplexen Differentialrechnung wieder die Nullfunktion. In einem Vektorraum von Funktionen ist die Nullfunktion der Nullvektor.

Die konstante Funktion mit dem Wert 1 wird häufig Einsfunktion genannt. Sie ist die Ableitung der Identität. Der Ausdruck „Einsfunktion“ kann aber auch das neutrale Element einer durch Verkettung gebildeten Gruppe von Funktionen meinen. Dieses ist dann die identische Abbildung und keine konstante Funktion.

Polynome nullten Grades sind konstante Funktionen. Eine konstante Funktion zwischen Vektorräumen ist genau dann linear, wenn sie die Nullfunktion ist.

Ob eine Funktion konstant ist, muss nicht am Funktionsterm erkennbar sein. Beispielsweise ist f\colon\mathbb Z/2\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z mit f(x)=x^2-x konstant gleich 0, weil sowohl 0^2-0=0 als auch 1^2-1=0 gilt.

Verallgemeinerungen und wichtige Folgerungen

Nach dem Satz von Liouville ist jede beschränkte ganze Funktion konstant. Daher ist auch eine elliptische Funktion ohne Polstelle konstant.

Eine lokal konstante Funktion ist eine Verallgemeinerung: Zu jedem Argument x gibt es eine Umgebung von x, auf der die Funktion konstant ist.

Damit kann man Zusammenhängendheit charakterisieren: Ist Y eine Menge mit mehr als einem Element, dann ist ein topologischer Raum X genau dann zusammenhängend, wenn jede lokal konstante Funktion f\colon X\to Y konstant ist. Außerdem gilt: Ist g\colon A\to B stetig, A zusammenhängend und B diskret, dann ist g konstant.