Topologischer Raum

Bedeutung und Definition

Die Topologie untersucht topologische Räume. Durch eine topologische Struktur lassen sich intuitive Vorstellungen wie „Nähe“ und „Streben gegen“ aus dem Anschauungsraum auf sehr viele und allgemeine mathematische Strukturen übertragen und präzise beschreiben.

Eine Topologie auf einer Grundmenge X ist ein Mengensystem T aus Teilmengen von X. Die Mengen aus T heißen offene Mengen. Die Axiome lauten:

• Die leere Menge ∅ und X gehören zu T.
• Der Schnitt endlich vieler offener Mengen ist offen: Für U₁,…,Uₙ ∈ T mit n ∈ ℕ gilt U₁ ∩ ··· ∩ Uₙ ∈ T.
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen: Für jede Familie (Uᵢ)ᵢ∈J ⊆ T gilt ⋃ᵢ∈J Uᵢ ∈ T.

Erfüllt das Paar (X,T) diese Axiome, heißt es topologischer Raum. Es gibt mehrere Axiomensysteme der Allgemeinen Topologie; sie sind zueinander äquivalent.

Punkte, abgeschlossene Mengen und Umgebungen

Ein Element der Grundmenge X wird anschaulich als Punkt bezeichnet. Formal ist ein topologischer Raum jedoch nicht nur die Menge X, sondern das Paar (X,T) aus der strukturtragenden Menge und ihrer Topologie. Wenn der Zusammenhang eindeutig ist, spricht man vereinfachend vom topologischen Raum X.

Eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement eine offene Menge ist. Die Topologie kann daher auch dual über die abgeschlossenen Mengen beschrieben werden: Dabei werden in den Axiomen offene Mengen durch abgeschlossene Mengen sowie Vereinigungen durch Schnitte und Schnitte durch Vereinigungen ersetzt.

Zu jedem Punkt x eines topologischen Raums gehört ein Umgebungsfilter U(x) von Umgebungen. Dieser Filter fasst die Mengen zusammen, die als Umgebungen von x gelten, und macht den Begriff der „Nähe“ mathematisch fassbar. Auch über Umgebungssysteme kann ein topologischer Raum definiert werden.

Vergleich von Topologien

Auf derselben Grundmenge X kann man Topologien anhand ihrer offenen Mengen vergleichen. Eine Topologie T heißt feiner als eine Topologie S, wenn S ⊆ T gilt. Dann ist jede in S offene Menge auch in T offen. S heißt in diesem Fall gröber als T. Sind die Topologien verschieden, spricht man von echt feiner beziehungsweise echt gröber.

Nicht alle Topologien auf X lassen sich vergleichen. Für zwei nicht vergleichbare Topologien existiert jedoch eine eindeutige gemeinsame Verfeinerung: Sie ist die gröbste Topologie auf X, die beide Topologien umfasst. Dual dazu ist S ∩ T eine Topologie. Sie ist die feinste Topologie, die in beiden Topologien enthalten ist. Mit der Relation „ist feiner als“ bilden die Topologien auf einer Menge einen Verband.

Diese Ordnung stimmt mit der Ordnung der Umgebungsfilter überein: Für einen festen Punkt x ist der von der feineren Topologie T erzeugte Umgebungsfilter V(x) feiner als der von der gröberen Topologie S erzeugte Filter U(x).

Stetige Abbildungen und Homöomorphismen

Die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen topologischen Räumen heißen stetige Abbildungen. Eine Abbildung f: (X,S) → (Y,T) ist global stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge O von Y eine offene Menge in X ist. Formal gilt:

O ∈ T ⇒ f⁻¹(O) ∈ S.

Ein Homöomorphismus ist eine bijektive stetige Abbildung, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist. Topologische Räume, zwischen denen ein Homöomorphismus besteht, heißen homöomorph. Sie sind strukturell gleichartig.

Beispiele und Konstruktionen

Wichtige Beispiele für Topologien sind:

• Die triviale oder indiskrete Topologie auf X enthält nur ∅ und X. Sie ist die gröbste Topologie auf X.
• Die diskrete Topologie enthält alle Teilmengen von X. Sie ist die feinste Topologie auf X.
• Auf einer unendlichen Menge M, beispielsweise ℕ, ist bei der kofiniten Topologie die leere Menge sowie jede Teilmenge offen, deren Komplement nur endlich viele Elemente enthält.
• Jede streng totalgeordnete Menge kann mit ihrer Ordnungstopologie versehen werden.
• In einem metrischen Raum erzeugen die offenen Kugeln als Basis eine von der Metrik induzierte Topologie. Bei einem normierten Raum wird die Metrik und damit die natürliche Normtopologie von der Norm induziert. Weitere speziell konstruierte Räume sind unter anderem der Arens-Fort-Raum, der Cantor-Raum, der Hilbertwürfel, die Michael-Gerade, der Niemytzki-Raum, die Sorgenfrey-Ebene und die Tichonow-Planke.

Topologien lassen sich auf verschiedene Weise erzeugen. Ein beliebiges System S von Teilmengen einer Menge X kann zu einer Topologie erweitert werden, in der mindestens alle Mengen aus S offen sind; S heißt dann Subbasis.

Für eine Teilmenge Y eines topologischen Raums X gibt es die Unterraumtopologie. Ihre offenen Mengen sind genau die Schnitte von in X offenen Mengen mit Y.

Das mengentheoretische Produkt einer Familie topologischer Räume erhält die Produkttopologie. Bei endlichen Produkten bilden Produkte offener Mengen aus den Faktorräumen eine Basis. Bei unendlichen Produkten gehören zur Basis nur solche Produkte, bei denen alle bis auf endlich viele Faktoren der gesamte jeweilige Raum sind. Nimmt man stattdessen alle kartesischen Produkte offener Mengen als Basis, erhält man die Box-Topologie. Sie ist im Allgemeinen echt feiner als die Produkttopologie.

Die Initialtopologie verallgemeinert Unterraum- und Produkttopologie. Sie wird auf X so gewählt, dass bestimmte Abbildungen aus X in andere topologische Räume stetig sind; sie ist die gröbste Topologie mit dieser Eigenschaft.

Bei einer Quotiententopologie werden bestimmte Punkte eines topologischen Raums X miteinander verklebt beziehungsweise identifiziert. Formal geschieht dies durch eine Äquivalenzrelation; die Punkte des Quotientenraums sind Äquivalenzklassen von Punkten aus X. Die Finaltopologie verallgemeinert diese Konstruktion. Sie wird auf X so definiert, dass bestimmte Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach X stetig sind, und ist die feinste Topologie mit dieser Eigenschaft.