Grenzwert (Funktion)

Grundidee und formale Definition

Der Limes oder Grenzwert einer Funktion beschreibt den Wert, dem sich die Funktionswerte in der Umgebung einer betrachteten Stelle beliebig nähern. Existiert ein Grenzwert, heißt die Funktion dort konvergent; andernfalls heißt sie divergent. Der Grenzwertbegriff ist ein grundlegendes Konzept der Analysis.

Für eine Funktion f gilt lim_{x→p} f(x) = L genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass aus 0 < |x−p| < δ stets |f(x)−L| < ε folgt. Anschaulich kann der Abstand zwischen f(x) und L also beliebig klein gemacht werden, indem x nahe genug an p gewählt wird. Dabei bleibt x ≠ p: Entscheidend ist das Verhalten in einer punktierten Umgebung von p. Der Wert f(p) spielt keine Rolle; f muss an p nicht einmal definiert sein.

Die Stelle p muss ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs D sein. Das bedeutet, dass in jeder Umgebung von p weitere Punkte aus D liegen. Sowohl p als auch L können endlich sein oder die symbolischen Werte +∞ beziehungsweise −∞ annehmen.

Je nachdem, ob Argument und Grenzwert endlich oder unendlich sind, ergeben sich vier Fälle:

• Endliches Argument p, endlicher Grenzwert L: Zu jedem ε > 0 gibt es δ > 0, sodass 0 < |x−p| < δ die Ungleichung |f(x)−L| < ε nach sich zieht.

• Endliches Argument p, Grenzwert +∞: Zu jeder reellen Zahl T gibt es δ > 0, sodass aus 0 < |x−p| < δ folgt, dass f(x) > T ist. Dann heißt f bestimmt divergent. Der Fall −∞ wird entsprechend definiert.

• Argument +∞, endlicher Grenzwert L: D ist nach oben unbeschränkt, und zu jedem ε > 0 gibt es eine reelle Zahl S, sodass für x > S stets |f(x)−L| < ε gilt. Der Fall x→−∞ wird entsprechend definiert.

• Argument +∞, Grenzwert +∞: Zu jeder reellen Zahl T gibt es eine Zahl S, sodass für x > S stets f(x) > T gilt. Auch dies heißt bestimmte Divergenz. Die Kombinationen mit −∞ werden entsprechend definiert.

Folgen und einseitige Grenzwerte

Die verschiedenen Fälle lassen sich einheitlich mithilfe von Folgen formulieren. Ein Punkt p ∈ ℝ ∪ {±∞} ist genau dann ein Häufungspunkt von D, wenn es eine Folge (x_n) mit x_n ∈ D \ {p} und lim_{n→∞} x_n = p gibt. Für f: D→ℝ gilt dann

lim_{x→p} f(x) = L

genau dann, wenn für jede solche Folge (x_n) auch lim_{n→∞} f(x_n) = L gilt. Diese Folgenformulierung ist zu den klassischen Umgebungsdefinitionen äquivalent.

Bei einem einseitigen Grenzwert nähert sich x der Stelle p nur von einer Seite. Für den rechtsseitigen Grenzwert lim_{x→p+} f(x) = L muss zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existieren, sodass aus 0 < x−p < δ die Ungleichung |f(x)−L| < ε folgt. Entsprechend bezeichnet lim_{x→p−} f(x) den linksseitigen Grenzwert. Gebräuchliche Schreibweisen sind rechts etwa lim_{x↓p} f(x), lim_{x↘p} f(x) oder f(p+), links etwa lim_{x↑p} f(x), lim_{x↗p} f(x) oder f(p−).

Wenn p von beiden Seiten Häufungspunkt des Definitionsbereichs ist, existiert der beidseitige Grenzwert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Dann gilt

lim_{x→p} f(x) = lim_{x↗p} f(x) = lim_{x↘p} f(x).

Ist f außerdem an p definiert, so ist f dort genau dann stetig, wenn lim_{x→p} f(x) = f(p) gilt.

Rechenregeln und Verkettungen

Existieren für zwei Funktionen f und g die endlichen Grenzwerte lim_{x→p} f(x) = a und lim_{x→p} g(x) = b, so gelten die grundlegenden Grenzwertsätze:

• lim_{x→p}(f(x) ± g(x)) = a ± b.

• lim_{x→p}(f(x)·g(x)) = a·b.

• Falls b ≠ 0 ist, gilt lim_{x→p} f(x)/g(x) = a/b.

Haben Zähler und Nenner beide den Grenzwert 0, ist die Quotientenregel nicht unmittelbar anwendbar. In vielen Fällen kann dann die Regel von de L’Hospital helfen.

Der Schachtelungssatz besagt: Gilt |f(x)| ≤ |g(x)| und lim_{x→p} g(x) = 0, dann gilt auch lim_{x→p} f(x) = 0.

Für eine Verkettung g(f(x)) reicht die bloße Existenz von lim_{x→p} f(x) = a und lim_{u→a} g(u) im Allgemeinen nicht aus. Der Grenzwert der Verkettung ist jedoch garantiert, wenn g an a stetig ist oder f in einer punktierten Umgebung von p den Wert a nicht annimmt. Dann gilt

lim_{x→p} g(f(x)) = lim_{u→a} g(u).

Ist g an a stetig, kann man dies als lim_{x→p} g(f(x)) = g(lim_{x→p} f(x)) schreiben: Grenzwertbildung und Verkettung mit g dürfen dann vertauscht werden.

Typische Beispiele und Ableitungen

Ein einfaches Beispiel zeigt, dass der Funktionswert an der betrachteten Stelle für den klassischen Grenzwert nicht entscheidend ist:

lim_{x→1} (x²−1)/(x−1) = lim_{x→1} ((x−1)(x+1))/(x−1) = lim_{x→1}(x+1) = 2.

Weitere typische Fälle sind lim_{x→0} 1/x² = +∞, lim_{x→∞} x/(x+1) = 1 und lim_{x→∞} x² = +∞.

Einseitige Grenzwerte erklären Sprünge und unterschiedliche Richtungen des unbeschränkten Wachstums. Für die Signumfunktion gilt lim_{x→0+} sgn(x) = +1 und lim_{x→0−} sgn(x) = −1; deshalb existiert kein beidseitiger Grenzwert. Ebenso hat 1/x rechts den Grenzwert +∞ und links den Grenzwert −∞. Dagegen gilt für 1/|x| auf beiden Seiten der Grenzwert +∞, also lim_{x→0} 1/|x| = +∞.

Eine zentrale Anwendung ist der Differenzenquotient. Der Differentialquotient oder die Ableitung ist der Grenzwert

lim_{x₁→x₀} (f(x₁)−f(x₀))/(x₁−x₀) = lim_{Δx→0} Δy/Δx,

wobei Δy := f(x₁)−f(x₀) und Δx := x₁−x₀ gelten. Existiert dieser Grenzwert, heißt f an der Stelle x₀ differenzierbar; geschrieben wird er beispielsweise als f′(x₀) oder df/dx(x₀).

Wichtige daraus entstehende Grenzwerte liefern

d(xⁿ)/dx = lim_{h→0} ((x+h)ⁿ−xⁿ)/h = nxⁿ⁻¹

für n ∈ ℕ sowie

d(aˣ)/dx = aˣ lim_{h→0}(aʰ−1)/h = aˣ ln a

für a ∈ ℝ⁺. Im Bogenmaß gilt außerdem der grundlegende trigonometrische Grenzwert lim_{x→0} sin(x)/x = 1.

Als Beispiel für Verkettungen erhält man lim_{x→0+} sin(x)^{sin(x)} = 1. Dazu schreibt man sin(x)^{sin(x)} = e^{sin(x)·ln(sin(x))}; der innere Ausdruck besitzt nach der Regel von de L’Hospital den Grenzwert 0, und lim_{u→0} eᵘ = 1.

Punktierter und nichtpunktierter Grenzwert

Neben dem klassischen punktierten Grenzwert gibt es eine nichtpunktierte Variante. Für f: D→ℝ, p in der abgeschlossenen Hülle D̄ und L ∈ ℝ ∪ {±∞} gilt dabei lim_{x→p} f(x) = L genau dann, wenn für jede Folge (x_n) mit x_n ∈ D und x_n→p auch f(x_n)→L gilt. Anders als in der klassischen Definition ist x_n = p erlaubt. In der entsprechenden ε-δ-Definition wird deshalb 0 < |x−p| < δ durch |x−p| < δ ersetzt. Die Definition ist dadurch auch an isolierten Punkten des Definitionsbereichs möglich.

Beide Varianten sind nicht äquivalent. Für

f(x) = 0 für x ≠ 0 und f(0) = 1

existiert der punktierte Grenzwert lim_{x→0} f(x) = 0, obwohl er nicht mit f(0) übereinstimmt und die Funktion daher nicht stetig ist. Im nichtpunktierten Sinn existiert der Grenzwert nicht, weil auch die Stelle x = 0 einbezogen wird. In der nichtpunktierten Variante folgt bei p ∈ D aus der Existenz des Grenzwerts automatisch lim_{x→p} f(x) = f(p); damit genügt seine Existenz als Bedingung für Stetigkeit. Zur eindeutigen Kennzeichnung des klassischen Grenzwerts wird die Schreibweise lim_{x→p, x≠p} f(x) empfohlen.

Allgemeine Definition mit Filtern

Beide Grenzwertvarianten sind Spezialfälle eines allgemeineren Begriffs aus der Topologie. Sei f eine Funktion von X nach Y, wobei Y eine Topologie besitzt, und sei ℱ ⊆ ℘(X) ein Filter auf X. Ein Punkt L ∈ Y heißt Grenzwert von f bezüglich ℱ, wenn der von der Filterbasis f(ℱ) erzeugte Filter gegen L konvergiert. Das bedeutet: Dieser Filter ist feiner als der Umgebungsfilter von L.

Die nichtpunktierte Definition entsteht, wenn ℱ als Umgebungsfilter der betrachteten Stelle x gewählt wird. Die klassische Definition von Weierstraß ergibt sich dagegen, wenn ℱ der von den punktierten Umgebungen von x erzeugte Filter ist. Der Filterbegriff fasst damit beide Auffassungen in einem gemeinsamen Rahmen zusammen.