Geometrische Reihe

Grundidee und Definition

Eine geometrische Reihe ist eine unendliche Summe, deren Glieder eine geometrische Folge bilden. Das bedeutet: Zwei aufeinanderfolgende Glieder haben immer dasselbe Verhältnis. In der allgemeinen Form lautet sie

a+aq+aq^2+aq^3+\cdots

mit einem Vorfaktor a und einem gemeinsamen Verhältnis q\neq 0. Häufig betrachtet man den Grundfall

\sum_{n=0}^{\infty}q^n=1+q+q^2+q^3+\cdots.

Die Partialsummen, also die endlichen Zwischensummen, sind

s_n=\sum_{k=0}^{n}q^k=1+q+q^2+\cdots+q^n.

Für positive Glieder erklärt sich der Name „geometrisch“ dadurch, dass jedes Glied das geometrische Mittel aus seinem Vorgänger und seinem Nachfolger ist: Für a_n=cq^n und c,q>0 gilt

\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}=a_n.

Geometrische Reihen sind wichtig, weil sie besonders einfach aufgebaut sind. Dadurch kann man sie oft als Vergleichsreihe oder Majorante verwenden, um kompliziertere Reihen, Potenzreihen und Funktionen zu untersuchen.

Konvergenz und Summenformel

Die geometrische Reihe

\sum_{k=0}^{\infty}q^k

konvergiert genau dann, wenn |q|<1 gilt. Dann ist ihr Grenzwert

\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}.

Die Formel folgt aus der Partialsumme

s_n=\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q},

denn

(1-q)s_n=1-q^{n+1}.

Wenn |q|<1, ist q^n eine Nullfolge, also strebt q^{n+1} gegen 0 und damit s_n gegen \frac{1}{1-q}. Wenn |q|\geq 1, divergiert die Reihe, weil die Glieder q^n dann nicht gegen 0 streben; nach dem Nullfolgenkriterium kann die Reihe also keinen Grenzwert haben. Ein Beispiel für Divergenz ist 1+2+4+8+\cdots, dessen Partialsummen 1,3,7,15,\ldots sind.

Historische Beispiele

Schon in der Antike traten Ideen auf, die heute mit geometrischen Reihen beschrieben werden. Zenons Teilungsparadoxon zerlegt eine Strecke immer wieder in die Hälfte des verbleibenden Rests. Daraus entsteht die Reihe

\frac12+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\cdots=1.

Sie zeigt, dass eine unendliche Summe positiver Zahlen trotzdem einen endlichen Wert haben kann.

Auch das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte führt auf eine geometrische Reihe. Hat die Schildkröte einen Vorsprung von 100\,\text{m} und läuft Achilles p>1-mal so schnell, dann ergibt sich der Einholpunkt als

x=100+\frac{100}{p}+\frac{100}{p^2}+\frac{100}{p^3}+\cdots=100\sum_{k=0}^{\infty}p^{-k}=\frac{100}{1-\frac1p}.

Archimedes nutzte geometrische Reihen bei der Exhaustionsmethode, einer frühen Form der Integration. Bei der Fläche eines Parabelsegments zerlegte er die Fläche in unendlich viele Dreiecke und erhielt bei geeigneter Normierung

1+\frac14+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots=\frac{4}{3}.

Fermat verwendete 1636 geometrische Reihen zur Berechnung von

\int_0^B x^a\,dx=\frac{B^{a+1}}{a+1}

für a>-1 und B>0. Später wurde deutlich, dass der unkritische Umgang mit divergenten Reihen zu falschen Aussagen führen kann, etwa bei der Grandi-Reihe 1-1+1-1+\cdots, die im gewöhnlichen Sinn nicht konvergiert.

Typische Anwendungen

In der Rentenrechnung beschreibt eine endliche geometrische Summe verzinste regelmäßige Einzahlungen. Werden am Anfang jedes Jahres a_0 Euro eingezahlt, ist der Zinsfaktor q und beträgt die Laufzeit n Jahre, dann ist der Endwert

a_0\sum_{k=1}^{n}q^k=a_0q\frac{q^n-1}{q-1}.

Im Artikel wird als Beispiel eine jährliche Einzahlung von 2000 € bei 5 % Zinsen über fünf Jahre berechnet. Der Endbetrag ist 11\,603{,}826 €, also ein Kapitalzuwachs von 1603,83 €.

Periodische Dezimalbrüche lassen sich mit geometrischen Reihen in Brüche umwandeln. Zum Beispiel gilt

0,\overline{9}=\frac{9}{10}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k=1.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie erscheint die geometrische Reihe bei der geometrischen Verteilung. Bei einem wiederholten Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit r und Misserfolgswahrscheinlichkeit 1-r gilt

r+(1-r)r+(1-r)^2r+(1-r)^3r+\cdots=1.

Das bedeutet: Bei r>0 tritt fast sicher irgendwann ein Erfolg ein. Auch beim „Ruin des Spielers“ wird eine Wahrscheinlichkeit mit Hilfe geometrischer Reihen ausgedrückt.

In der Geometrie und bei Fraktalen treten geometrische Reihen bei selbstähnlichen Flächen und Volumina auf. Für die Kochsche Schneeflocke ergibt sich, wenn das Ausgangsdreieck Fläche 1 hat, die Fläche

1+3\left(\frac19\right)+12\left(\frac19\right)^2+48\left(\frac19\right)^3+\cdots=\frac85.

Rolle in Analysis und Funktionentheorie

Die geometrische Reihe ist ein grundlegendes Werkzeug zur Untersuchung allgemeiner unendlicher Reihen. Beim Quotientenkriterium dient sie als Majorante: Wenn für eine Reihe \sum a_n ab einem gewissen Index

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leq q

mit 0<q<1 gilt, dann ist \sum a_n absolut konvergent, weil die Beträge durch eine konvergente geometrische Reihe abgeschätzt werden können. Ähnlich wird das Wurzelkriterium begründet.

Bei Potenzreihen F(q)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nq^n führt der Vergleich mit geometrischen Reihen zum Begriff des Konvergenzradius R. Für jede formale Potenzreihe gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl 0\leq R\leq\infty, sodass die Reihe für |q|<R konvergiert und für |q|>R divergiert.

In der Funktionentheorie lassen sich mit der geometrischen Reihe Taylor-Reihen herleiten. Beispiele sind

-\log(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots für |x|<1,

und

\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots für |x|<1.

Daraus folgt mit weiteren Sätzen auch die Leibniz-Reihe

1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac{\pi}{4}.

Auch beim Cauchyschen Entwicklungssatz, bei rationalen Funktionen und bei Abschätzungen von Taylor-Koeffizienten treten Verallgemeinerungen oder Ableitungen der geometrischen Reihe auf.

Verallgemeinerungen

Die geometrische Reihe ist ein Spezialfall der binomischen Reihe

(1-x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}(-x)^n\quad(|x|<1).

Für \alpha=-1 erhält man

\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n.

Es gibt außerdem endliche Summenformeln, die geometrische Summen mit zusätzlichen Faktoren verallgemeinern, zum Beispiel

\sum_{k=0}^{n}q^k k=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2} für q\neq 1,

und für q=1

\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.

Verwandte Potenzreihen führen zu speziellen Funktionen. Für |q|<1 gilt mit Euler-Polynomen A_m(q)

\sum_{n=1}^{\infty}n^mq^n=\frac{qA_m(q)}{(1-q)^{m+1}},

und allgemein definiert

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{n^s}=\operatorname{Li}_s(q)

den Polylogarithmus.

Die geometrische Summenformel gilt auch in Banach-Algebren, wenn die Norm von q kleiner als 1 ist. Für Matrizen erhält man insbesondere

(I_m-A)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}A^n,

falls alle Eigenwerte \lambda_k von A die Bedingung |\lambda_k|<1 erfüllen. Hypergeometrische Reihen verallgemeinern das Prinzip weiter: Eine Reihe heißt hypergeometrisch, wenn der Quotient c_{n+1}/c_n eine rationale Funktion in n ist.