Geometrisches Mittel

Grundidee und Definition

Das geometrische Mittel, auch mittlere Proportionale genannt, ist ein Mittelwert für positive Zahlen. Für n positive reelle Zahlen x_1, x_2, ..., x_n erhält man es, indem man zuerst alle Zahlen miteinander multipliziert und dann aus dem Produkt die n-te Wurzel zieht:

{\bar x}_{\mathrm{geom}}=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\dotsm x_n}.

Es eignet sich besonders für Größen, die miteinander multipliziert werden, etwa Wachstumsfaktoren oder Zinsfaktoren. Für zwei Zahlen ist die Formel \sqrt{x_1\cdot x_2}. Das geometrische Mittel der Zahlen 1 und 2 ist daher \sqrt{1\cdot2}\approx1{,}41. Das arithmetische Mittel wäre 1,5; die größere Zahl wird beim geometrischen Mittel also weniger stark gewichtet.

Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel gibt es ein gewichtetes geometrisches Mittel. Bei positiven Gewichten w_i>0 gilt:

{\bar x}_{\mathrm{geom}}=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i^{w_i}\right)^{\frac{1}{w}}=\sqrt[w]{\prod_{i=1}^{n}x_i^{w_i}}, mit w:=\sum_{i=1}^{n}w_i.

Gewichte geben an, wie stark einzelne Werte in den Mittelwert eingehen.

Wichtige Eigenschaften

Das geometrische Mittel ist im Gegensatz zum arithmetischen Mittel nur für positive Zahlen x_i definiert. Eine zentrale Regel ist die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel:

{\bar x}_{\mathrm{geom}}\leq {\bar x}_{\mathrm{arithm}}.

Das geometrische Mittel ist also nie größer als das arithmetische Mittel. Gleichheit kann nur in besonderen Fällen auftreten, zum Beispiel wenn alle betrachteten Werte gleich sind.

Eine wichtige Rechenregel benutzt Logarithmen. Der Logarithmus des geometrischen Mittels ist das arithmetische Mittel der Logarithmen:

\log_a {\bar x}_{\mathrm{geom}}={\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}\log_a x_i.

Die Basis a des Logarithmus darf beliebig gewählt werden. Diese Darstellung ist praktisch, wenn sehr viele Zahlen einbezogen werden, weil man statt eines großen Produkts mit Summen von Logarithmen rechnen kann.

Das arithmetisch-geometrische Mittel ist eine Zahl, die zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel liegt. Für n=2 und w_1=w_2=1 gilt außerdem:

x_{\mathrm{geom}}=\sqrt{x_{\mathrm{arithm}}\cdot x_{\mathrm{harm}}},

also ist das geometrische Mittel die Quadratwurzel aus dem Produkt von arithmetischem und harmonischem Mittel.

Geometrische Bedeutung

Das geometrische Mittel lässt sich geometrisch deuten. Bei zwei Streckenlängen l_1 und l_2 kann mithilfe des Thaleskreises ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert werden. Aus dem Höhensatz folgt dann:

l_g=\sqrt{l_1\cdot l_2}.

Damit entspricht die Höhe in dieser Konstruktion genau dem geometrischen Mittel der beiden Streckenlängen.

Für zwei Zahlen a und b liefert das geometrische Mittel \sqrt{ab} die Seitenlänge eines Quadrats, das denselben Flächeninhalt hat wie ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Bei drei Zahlen entspricht das geometrische Mittel der Seitenlänge eines Würfels, der dasselbe Volumen hat wie ein Quader mit den Seitenlängen a, b und c:

l_g=\sqrt[3]{abc}.

Entsprechend kann man im n-dimensionalen Fall an Hyperwürfel denken. Der Artikel nennt außerdem eine Kreisfigur: Sind AB und AD Sehnen eines Kreises, t die Tangente in A, BC senkrecht zu t, |AB|=c, |BC|=a und d=|AD| der Durchmesser, dann gilt c=\sqrt{ad}. Begründet wird dies über ähnliche Dreiecke: Aus \frac{a}{c}=\frac{c}{d} folgt c^2=ad und damit c=\sqrt{ad}.

Anwendungen und Beispiele

Das geometrische Mittel tritt in verschiedenen Bereichen auf, zum Beispiel in der Statistik, der Finanzmathematik und in geometrischen Konstruktionen. Bei der Würfelverdoppelung, also der Herstellung eines Würfels mit exakt doppeltem Volumen eines gegebenen Würfels, benötigt man zwei mittlere Proportionalen zweier Größen. Auch dem Goldenen Schnitt liegt das geometrische Mittel zugrunde. In der Näherungskonstruktion der Quadratur des Kreises nach Srinivasa Ramanujan von 1914 und in der Konstruktion des Siebzehnecks aus dem Jahr 1818 wird es ebenfalls verwendet.

Ein einfaches Zahlenbeispiel: Für a=3 und b=300 ist das geometrische Mittel

\sqrt{3\cdot300}=30.

Ein Beispiel aus der Chemie betrifft eine 0,1 molare und eine 10 molare Lösung. Wenn sich Eigenschaften konzentrationsabhängig nach einem linearen Zusammenhang verändern und man eine Lösung mit durchschnittlichen Eigenschaften erhalten will, muss man das geometrische Mittel bilden. Es ist hier 1. Das arithmetische Mittel wäre dagegen 5,05 und würde eher die Eigenschaften der 10 molaren Lösung widerspiegeln.

Ein wichtiges Beispiel aus der Finanzmathematik ist der durchschnittliche Zinssatz. Wird ein Guthaben G im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben Prozent und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst, dann ist das Endguthaben

G_{\mathrm{Ende}}=1{,}02\cdot1{,}07\cdot1{,}05\cdot G.

Bei einem konstanten Zinssatz p wäre

G_{\mathrm{konst}}=(1+p)^3\cdot G.

Aus G_{\mathrm{konst}}=G_{\mathrm{Ende}} folgt:

1+p=\sqrt[3]{1{,}02\cdot1{,}07\cdot1{,}05}\approx1{,}04646.

Der durchschnittliche Zinssatz beträgt also ungefähr 4{,}646\,\%. Der durchschnittliche Zinsfaktor ist allgemein das geometrische Mittel der jährlichen Zinsfaktoren. Wegen der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz kleiner oder höchstens gleich dem arithmetischen Mittel der Zinssätze; im Beispiel beträgt dieses \frac{14}{3}\,\%\approx4{,}667\,\%.

Statistische Mittelwerte

In der Statistik kann das gewichtete geometrische Mittel verwendet werden, wenn Werte mit Häufigkeiten auftreten. Häufigkeiten geben an, wie oft ein Wert vorkommt oder welchen Anteil er an einer Gesamtheit hat.

Bei relativen Häufigkeiten werden diese relativen Häufigkeiten als Gewichte benutzt. Dann gilt \sum_{i=1}^{n}w_i=1, und das geometrische Mittel vereinfacht sich zu:

{\bar x}_{\mathrm{geom}}=\prod_{i=1}^{n}x_i^{w_i}.

Bei absoluten Häufigkeiten verwendet man die Häufigkeiten ebenfalls als Gewichte. Dann lautet die Formel:

{\bar x}_{\mathrm{geom}}=\sqrt[w]{\prod_{i=1}^{n}x_i^{w_i}},\;w=\sum_{i=1}^{n}w_i.

Damit werden Werte, die häufiger vorkommen, stärker in den Mittelwert einbezogen.

Zusammenhang mit Hölder-Mitteln

Das geometrische Mittel ist ein Spezialfall des Hölder-Mittels. Das Hölder-Mittel ist eine allgemeinere Familie von Mittelwerten, die von einem Parameter p abhängt. Ohne Gewichtung ergibt sich das geometrische Mittel im Grenzfall p\to0:

\lim_{p\to0}\left({\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}.

Durch Umformung mit der Exponentialfunktion, Logarithmen und der Regel von de L’Hospital wird daraus die Formel des geometrischen Mittels:

{\bar x}_{\mathrm{geom}}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}.

Auch das gewichtete geometrische Mittel lässt sich als Grenzfall des gewichteten Hölder-Mittels gewinnen:

{\bar x}=\sqrt[w]{\prod_{i=1}^{n}x_i^{w_i}}.

Dafür müssen beliebige Gewichte normiert werden. Man setzt also \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i} statt w_i ein, damit die Regel von de L’Hospital angewendet werden kann. Mit w_i=\frac{1}{n} erhält man wieder das ungewichtete geometrische Mittel.