Tetraeder

Begriff und allgemeine Merkmale

Ein Tetraeder (Vierflächner) ist ein dreidimensionales Simplex, also ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Es ist das einzige konvexe Polyeder mit genau vier Flächen. Jedes allgemeine Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide: Es hat vier Ecken, sechs Kanten, ein Dreieck als Grundfläche und drei weitere Dreiecke als Seitenflächen. Das zweidimensionale Simplex ist das Dreieck.

Jedes 3-Simplex besitzt eine Umkugel und eine Inkugel. Sein Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Strecken zwischen einer Ecke und dem Schwerpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks; er teilt jede dieser Strecken im Verhältnis 3:1 (Satz von Commandino). Die Verbindungslinie der Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten enthält ebenfalls den Schwerpunkt, der diese Strecke halbiert (Satz von Reusch). Das Tetraeder ist die konvexe Hülle seiner vier Ecken.

Wählt man von einer Ecke aus drei Kantenvektoren \vec a,\vec b,\vec c, dann ist sein Volumen ein Sechstel des Betrags des Spatprodukts: V=\frac16\left|\det[\vec a;\vec b;\vec c]\right|=\frac16\left|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\right|.

Regelmäßiges Tetraeder

Meist ist mit „Tetraeder“ das regelmäßige Tetraeder gemeint. Es ist einer der fünf platonischen Körper und besitzt vier kongruente gleichseitige Dreiecke, sechs gleich lange Kanten und vier Ecken, an denen jeweils drei Flächen zusammentreffen. Es kann zugleich als gleichseitige dreiseitige Pyramide aufgefasst werden.

Es besitzt hohe Symmetrie: vier dreizählige Drehachsen durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche, drei zweizählige Drehachsen durch Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten, drei vierzählige Drehspiegelachsen und sechs Symmetrieebenen. Seine Symmetriegruppe hat 24 Elemente; sie ist S_4, die Punktgruppe T_d beziehungsweise 43m. Darin liegen 12 Drehungen: die Identität, acht Drehungen um 120^\circ und drei Drehungen um 180^. Die geraden Permutationen bilden die Untergruppe A_4. Das regelmäßige Tetraeder ist selbst-dual: Verbindet man die Flächenmittelpunkte, entsteht wieder ein Tetraeder; dessen Seitenlänge beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge. Es ist der einzige platonische Körper, der nicht punktsymmetrisch ist.

Es lässt sich in einen Würfel einbeschreiben, sodass seine Ecken Würfelecken und seine Kanten Flächendiagonalen des Würfels sind. Das Würfelvolumen ist dann dreimal so groß wie das Tetraedervolumen. Die acht Würfelecken ergeben zwei mögliche, disjunkte Tetraeder: Ihre Schnittmenge ist ein Oktaeder, ihre Vereinigungsmenge ein Sterntetraeder; die konvexe Hülle dieses Sternkörpers ist der Würfel.

Wichtige Größen und Formeln

Für ein regelmäßiges Tetraeder mit Kantenlänge a gelten: V=\frac{a^3}{12}\sqrt2\approx0{,}118\,a^3 und A_O=\sqrt3\,a^2\approx1{,}732\,a^2. Die Höhe eines Seitendreiecks ist h_D=\frac{\sqrt3}{2}a, die Pyramidenhöhe h_P=\frac a3\sqrt6=a\sqrt{\frac23}\approx0{,}816a.

Der Umkugelradius beträgt r_u=\frac a4\sqrt6\approx0{,}612a, der Inkugelradius r_i=\frac a{12}\sqrt6\approx0{,}204a, also r_u=3r_i. Der Radius der Kantenkugel, die die Kanten in ihren Mittelpunkten berührt, ist r_k=\frac a4\sqrt2\approx0{,}354a. Der Abstand gegenüberliegender Kanten ist d=2r_k=\frac a2\sqrt2\approx0{,}707a.

Die Innenwinkel der gleichseitigen Flächen sind 60^\circ. Der Winkel zwischen benachbarten Flächen ist \beta=\arctan(2\sqrt2)\approx70{,}53^\circ, der Winkel zwischen Kante und Fläche \gamma=\arctan(\sqrt2)\approx54{,}74^\circ. Der Tetraederwinkel, unter dem man eine Kante vom Mittelpunkt aus sieht, ist \tau=2\gamma=\arccos(-\frac13)\approx109{,}47^\circ. Dieser Winkel spielt etwa bei der Gestalt des Methan-Moleküls eine Rolle.

Der Raumwinkel in jeder Ecke ist \Omega=3\arctan(2\sqrt2)-\pi\approx0{,}5513\,\mathrm{sr}. Er ist die Fläche eines sphärischen Dreiecks auf der Einheitskugel. Allgemein hat ein sphärisches Dreieck mit Winkeln \psi_1,\psi_2,\psi_3 den Flächeninhalt \psi_1+\psi_2+\psi_3-\pi.

Koordinaten und Berechnung

Ein allgemeines Tetraeder hat sechs Kanten. Sind sechs unabhängige Angaben zu Kantenlängen oder Winkeln gegeben, können die übrigen Kanten oder Winkel berechnet werden. Für eine Grundfläche mit Kanten a,b,c und die gegenüberliegenden Raumkanten a',b',c' gibt die Euler-Formel das Volumen an:

V=\frac1{12}\sqrt{a^2a'^2f_a+b^2b'^2f_b+c^2c'^2f_c-\delta},

wobei f_a=b^2+b'^2+c^2+c'^2-a^2-a'^2, f_b=a^2+a'^2+c^2+c'^2-b^2-b'^2, f_c=a^2+a'^2+b^2+b'^2-c^2-c'^2 und \delta=a^2b^2c^2+a^2b'^2c'^2+a'^2b^2c'^2+a'^2b'^2c^2. Alternativ kann 288V^2 mit der Cayley-Menger-Determinante aus den sechs quadrierten Kantenlängen bestimmt werden.

Die Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte der vier Dreiecke. Für ein Dreieck mit Seiten a,b,c lautet die Heron-Formel A=\frac14\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}. Zu einer Grundfläche A gehört die Höhe h=\frac{3V}{A}, weil V=\frac{A\cdot h}{3}. Innenwinkel eines Dreiecks ergeben sich mit dem Kosinussatz, etwa \alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).

Aus Eckkoordinaten folgen die Kantenlängen als euklidische Abstände s_{i,j}=\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}. Winkel an einer Ecke erhält man mit dem Skalarprodukt zweier von ihr ausgehender Richtungsvektoren. Das Volumen kann außerdem aus der Determinante der 4\times4-Matrix mit den Zeilen (x_i,y_i,z_i,1) durch V=\frac16\det\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{pmatrix} berechnet werden.

Schnitte, Netze und Graphen

Ein Schnitt durch die Mitten von vier Kanten, parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, ist ein Quadrat mit Seitenlänge a/2; die beiden entstehenden Teile sind kongruent. Parallele, aber verschobene Ebenen erzeugen Rechtecke. Weitere mögliche Querschnitte sind Trapeze, Drachenvierecke und – bei einer Ebene parallel zu einer Seitenfläche – gleichseitige Dreiecke.

Es gibt zwei Netze des regelmäßigen Tetraeders. Sie entstehen, indem drei Kanten aufgeschnitten werden, während die übrigen drei Kanten die vier gleichseitigen Dreiecke verbinden. Für eine Flächenfärbung, bei der benachbarte Flächen verschiedene Farben haben, werden vier Farben benötigt.

Der Tetraedergraph ist der vollständige planare Graph K_4: Er hat vier Knoten, sechs Kanten und vier Gebiete; jeder Knoten hat Grad 3. Seine Knoten benötigen vier Farben, seine Kanten drei Farben, also sind chromatische Zahl 4 und chromatischer Index 3. Der Graph ist selbstdual, besitzt sechs Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise. Die drei aufgeschnittenen Kanten eines Netzes bilden einen Spannbaum; jedem Netz entspricht genau ein Spannbaum.

Verallgemeinerungen und Anwendungen

Der Raum kann lückenlos mit bestimmten Raumfüllungen aus gleich langen platonischen oder archimedischen Körpern ausgefüllt werden; in den genannten Raumfüllungen treten Tetraeder zusammen mit Oktaedern, Tetraederstümpfen oder mit Rhombenkuboktaedern und Würfeln auf. Das regelmäßige Tetraeder allein ist jedoch kein Stein einer Raumparkettierung.

In der Chemie beschreibt die Tetraederform räumliche Atomordnungen: Im Methan-Molekül sind vier Wasserstoffatome tetraedrisch um das Kohlenstoffatom angeordnet, und im Diamantgitter ist jedes Kohlenstoffatom von vier weiteren Atomen tetraedrisch umgeben; dabei liegt sp^3-Hybridisierung vor. Weitere Anwendungen sind Tetra-Pak-Verpackungen, Bell-Tetraeder aus Kastendrachen, vierseitige Spielwürfel W4, Tetrapoden als Wellenbrecher und Krähenfüße.

In n Dimensionen heißt die Verallgemeinerung n-dimensionales Simplex. Es hat n+1 Ecken und n+1 Facetten der Dimension n-1. Punkt, Strecke, Dreieck und Tetraeder sind das 0-, 1-, 2- und 3-dimensionale Simplex. Das vierdimensionale 5-Zell besitzt fünf Ecken, zehn Kanten, zehn Dreiecksflächen und fünf Tetraeder als Facetten.

Das Sierpinski-Tetraeder entsteht, indem aus einem Tetraeder in jedem Schritt ein Oktaeder halber Kantenlänge herausgeschnitten wird. Es bleiben jeweils vier Tetraeder. Nach Schritt k gibt es 4^k Teil-Tetraeder und \frac{4^k-1}{3} herausgeschnittene Oktaeder verschiedener Seitenlängen. Seine Dimension ist D=\frac{\log(4)}{\log(2)}=2; bei zunehmenden Iterationen geht das Volumen gegen 0, während der Oberflächeninhalt konstant bleibt.