Potenzreihe

Definition und Bedeutung

Eine Potenzreihe ist in der Analysis eine unendliche Reihe der Form P(x) = ∑{n=0}^{∞} a_n(x−x₀)^n. Dabei ist (a_n){n∈ℕ₀} eine beliebige Folge reeller oder komplexer Zahlen; x₀ heißt Entwicklungspunkt. Potenzreihen sind wichtig für die Funktionentheorie und ermöglichen häufig, reelle Funktionen sinnvoll in die komplexe Zahlenebene fortzusetzen. Eine Funktion, die sich durch eine Potenzreihe darstellen lässt, heißt analytische Funktion.

Jede Polynomfunktion ist eine Potenzreihe, bei der fast alle Koeffizienten a_n gleich 0 sind. Weitere wichtige Fälle sind Taylorreihen und Maclaurinsche Reihen. Für eine Funktion und einen festgelegten Entwicklungspunkt ist die Potenzreihendarstellung eindeutig bestimmt. Daher ist die Taylorentwicklung dort die einzig mögliche Potenzreihenentwicklung.

Konvergenz und grundlegende Eigenschaften

Der Konvergenzradius r ist die größte Zahl, für die die Potenzreihe für alle x mit |x−x₀| < r konvergiert. Die offene Kugel U_r(x₀) heißt Konvergenzkreis. Konvergiert die Reihe für alle x, ist r = ∞. Konvergiert sie nur für x₀, ist r = 0; eine solche Reihe wird manchmal „nirgends konvergent“ genannt.

Die Formel von Cauchy-Hadamard lautet: r = 1 / lim sup_{n→∞} ⁿ√|a_n|. Dabei setzt man 1/0 := +∞ und 1/∞ := 0. Sind die Koeffizienten nicht null und existiert der folgende Grenzwert, kann man einfacher rechnen: r = lim_{n→∞} |a_n/a_{n+1}|.

Im Inneren des Konvergenzkreises konvergieren Potenzreihen absolut und normal. Auf kompakten Teilmengen liegt gleichmäßige Konvergenz vor. Die dadurch definierte Funktion ist stetig und unendlich oft differenzierbar; außerdem darf die Reihe dort gliedweise differenziert und integriert werden. Über die Konvergenz am Rand lässt sich keine allgemeine Aussage treffen. In bestimmten Fällen hilft der abelsche Grenzwertsatz.

Wichtige Beispiele

• Exponentialfunktion: e^x = exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} x^n/n! = x⁰/0! + x¹/1! + x²/2! + ⋯. Sie konvergiert für alle x ∈ ℝ, also ist r = ∞.

• Sinus: sin(x) = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^n x^{2n+1}/(2n+1)! = x/1! − x³/3! + x⁵/5! ∓ ⋯.

• Kosinus: cos(x) = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^n x^{2n}/(2n)! = x⁰/0! − x²/2! + x⁴/4! ∓ ⋯. Für Sinus und Kosinus ist r = ∞; ihre Darstellungen folgen mithilfe der eulerschen Formel aus der Exponentialfunktion.

• Geometrische Reihe: 1/(1−x) = ∑_{k=0}^{∞} x^k = 1+x+x²+x³+⋯ für |x| < 1. Für |x| ≥ 1 divergiert sie, also ist r = 1.

• Logarithmus: ln(1+x) = ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k+1}x^k/k = x−x²/2+x³/3−x⁴/4+⋯ für −1 < x ≤ 1. Der Radius ist 1; bei x = 1 konvergiert die Reihe, bei x = −1 divergiert sie.

• Wurzelfunktion: √(1+x) = 1 + x/2 − x²/(2·4) + (1·3)x³/(2·4·6) ∓ ⋯ für −1 ≤ x ≤ 1. Der Radius ist 1, und die Reihe konvergiert an beiden Randpunkten.

Rechenoperationen

Seien f(x) = ∑{n=0}^{∞} a_n(x−x₀)^n und g(x) = ∑{n=0}^{∞} b_n(x−x₀)^n Potenzreihen mit Konvergenzradius r und c eine feste komplexe Zahl. Dann gelten innerhalb des gemeinsamen Bereichs: f(x)+g(x) = ∑{n=0}^{∞}(a_n+b_n)(x−x₀)^n, cf(x) = ∑{n=0}^{∞}(ca_n)(x−x₀)^n. Der jeweilige Konvergenzradius beträgt mindestens r.

Auch das Produkt ist eine Potenzreihe mit Radius mindestens r. Nach der Cauchy-Produktformel gilt: f(x)g(x) = ∑{n=0}^{∞}(∑{i=0}^{n} a_i b_{n−i})(x−x₀)^n. Die Koeffizienten c_n = ∑{i=0}^{n}a_i b{n−i} bilden die Faltung oder Konvolution der Folgen (a_n) und (b_n).

Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzkreises gliedweise abgeleitet werden: f′(x) = ∑{n=1}^{∞} a_n n(x−x₀)^{n−1} = ∑{n=0}^{∞}a_{n+1}(n+1)(x−x₀)^n. Allgemein gilt: f^{(k)}(x) = ∑{n=k}^{∞} n!/(n−k)! · a_n(x−x₀)^{n−k}. Eine Stammfunktion erhält man durch ∫f(x) dx = ∑{n=0}^{∞} a_n(x−x₀)^{n+1}/(n+1) + C. Ableitung und Stammfunktion besitzen denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe.

Verkettung und Bestimmung von Reihen

Sind f(x) = ∑{n=0}^{∞}a_n(x−x₁)^n und g(x) = ∑{n=0}^{∞}b_n(x−x₀)^n Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und b₀ = g(x₀) = x₁, dann ist f∘g lokal analytisch und um x₀ als Potenzreihe darstellbar. Für ihre Koeffizienten gilt nach Taylor c_n = (f∘g)^{(n)}(x₀)/n!. Eine geschlossene Darstellung liefert die Formel von Faà di Bruno. Dabei treten Multiindizes k aus T_n = {k∈ℕ₀^n | ∑_{j=1}^{n}j·k_j=n} und die zugehörigen Multinomialkoeffizienten auf.

Zur Bestimmung einer Potenzreihe kann man allgemein die Taylorreihe verwenden; schwierig kann dabei eine geschlossene Formel für alle Ableitungen sein. Bei gebrochen rationalen Funktionen helfen oft geometrische Reihen, Koeffizientenvergleich oder Partialbruchzerlegung.

Für f(z) = z²/(z²−4z+3) liefert die Faktorisierung (1−z)(3−z) und die geometrische Reihe um z₀ = 0: f(z) = ∑{n=2}^{∞} 1/2·(1−1/3^{n−1})z^n. Dasselbe Ergebnis entsteht durch Koeffizientenvergleich. Aus f(z) = ∑{n=0}^{∞}b_nz^n folgen b₀ = 0, b₁ = 0, b₂ = 1/3 und die Rekursion b_n = (4b_{n−1}−b_{n−2})/3. Die Partialbruchzerlegung f(z) = 1 + 1/2·1/(1−z) − 3/2·1/(1−z/3) führt ebenfalls zur gleichen Reihe.

Der Koeffizientenvergleich funktioniert auch an anderen Entwicklungspunkten. Für z₁ = −1 schreibt man in Potenzen von z+1. Dann ergeben sich b₀ = 1/8, b₁ = −5/32, b₂ = −1/128 und b_n = (−b_{n−2}+6b_{n−1})/8.

Verallgemeinerungen

Potenzreihen können über komplexen Zahlen hinaus verallgemeinert werden. Matrixexponential und Matrixlogarithmus übertragen die Idee auf den Raum quadratischer Matrizen.

Enthält eine Reihe auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten, heißt sie Laurent-Reihe. Sind außerdem gebrochene Exponenten zugelassen, spricht man von einer Puiseux-Reihe.

Formale Potenzreihen werden ohne vorrangige Betrachtung ihrer analytischen Konvergenz untersucht. Sie dienen etwa als erzeugende Funktionen in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie, darunter als wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen. In der Algebra betrachtet man formale Potenzreihen über allgemeinen kommutativen Ringen.