Funktionentheorie – einfach erklärt

Grundidee und komplexe Funktionen

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie untersucht holomorphe Funktionen, also komplexwertige Funktionen mit komplexen Variablen, die komplex differenzierbar sind. Besonders die Funktionentheorie einer komplexen Variablen nutzt viele Methoden der reellen Analysis und wird deshalb auch komplexe Analysis genannt. Zu ihren Hauptbegründern gehören Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.

Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Weil jede komplexe Zahl als x+iy geschrieben werden kann, lässt sich eine komplexe Funktion allgemein in der Form x+iy ↦ f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) darstellen. Dabei sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen von zwei reellen Variablen x und y. u heißt Realteil, v heißt Imaginärteil der Funktion. Eine komplexe Funktion kann daher auch als Abbildung von R² nach R² verstanden werden.

Der besondere Unterschied zur reellen Analysis zeigt sich bei komplex-differenzierbaren Funktionen. Dabei spielt die multiplikative Struktur des Körpers der komplexen Zahlen eine Rolle, die der reelle Vektorraum R² allein nicht besitzt. Die grafische Darstellung komplexer Funktionen ist schwieriger als bei reellen Funktionen, weil vier Dimensionen dargestellt werden müssten; daher nutzt man oft Farbtöne oder Farbsättigungen, um Betrag und Winkel komplexer Werte sichtbar zu machen.

Holomorphie und Cauchy-Riemann-Gleichungen

Der Differenzierbarkeitsbegriff aus der eindimensionalen reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Eine Funktion einer komplexen Variablen heißt komplex-differenzierbar im Punkt a, wenn der Grenzwert f'(a):=lim_{w→0} (f(a+w)-f(a))/w existiert. Die Funktion muss dabei in einer Umgebung von a definiert sein, und für den Grenzwert wird der komplexe Abstandsbegriff verwendet.

Für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen gibt es damit zwei Differenzierbarkeitsbegriffe: komplexe Differenzierbarkeit und reelle Differenzierbarkeit im Sinn der zweidimensionalen reellen Analysis. Jede komplex-differenzierbare Funktion ist auch reell-differenzierbar, aber nicht jede reell-differenzierbare Funktion ist komplex-differenzierbar.

Eine Funktion heißt holomorph oder analytisch, wenn sie in einer Umgebung eines Punktes komplex-differenzierbar ist. Holomorphe Funktionen haben besonders starke Eigenschaften: Ist eine Funktion einmal komplex-differenzierbar, dann ist sie automatisch beliebig oft komplex-differenzierbar. Das gilt im reellen Fall nicht allgemein.

Ein wichtiger Zugang sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: ∂x u(x,y)=∂y v(x,y) und ∂y u(x,y)=-∂x v(x,y). Eine Funktion ist genau dann in einem Punkt komplex differenzierbar, wenn sie dort reell differenzierbar ist und diese Gleichungen erfüllt. Geometrisch bedeutet komplexe Differenzierbarkeit, dass die Funktion lokal durch orientierungstreue affine Abbildungen angenähert werden kann, genauer durch Verkettungen von Drehungen, Streckungen und Translationen. Abseits von Ableitungsnullstellen sind holomorphe Abbildungen lokal konform, also winkel- und orientierungstreu.

Integralformel, Singularitäten und Reihen

Ein zentrales Ergebnis ist die cauchysche Integralformel. Für einen Integrationsweg, der keine Singularitäten von f umläuft und dessen Umlaufzahl um z durch 1=(1/(2πi))∮ 1/(w-z) dw gegeben ist, gilt f(z)=(1/(2πi))∮ f(w)/(w-z) dw. Die Formel sagt: Der Wert einer komplex-differenzierbaren Funktion in einem Gebiet hängt nur von den Funktionswerten auf dem Rand des Gebiets ab.

Da die Menge holomorpher Funktionen relativ klein ist, betrachtet die Funktionentheorie auch Funktionen, die außer in isolierten Punkten überall holomorph sind. Solche Punkte heißen isolierte Singularitäten. Ist eine Funktion in einer Umgebung einer Singularität beschränkt, kann sie dort holomorph fortgesetzt werden; das ist der riemannsche Hebbarkeitssatz. Ist eine Singularität z0 nicht hebbar, aber (z-z0)^k f(z) hat in z0 eine hebbare Singularität, dann heißt sie Polstelle k-ter Ordnung, wobei k minimal gewählt wird. Eine Funktion mit isolierten Polstellen, die sonst holomorph ist, heißt meromorph.

Ist eine Singularität weder hebbar noch ein Pol, heißt sie wesentliche Singularität. Nach dem Satz von Picard gibt es bei einer wesentlichen Singularität höchstens einen Ausnahmewert a; in jeder beliebig kleinen Umgebung der Singularität nimmt die Funktion jeden komplexen Zahlenwert mit höchstens dieser Ausnahme an.

Holomorphe Funktionen lassen sich in Potenzreihen entwickeln. Funktionen mit hebbaren Singularitäten können ebenfalls in Potenzreihen entwickelt werden. Meromorphe Funktionen haben Laurent-Reihen mit nur endlich vielen Gliedern negativer Potenz. Bei wesentlichen Singularitäten bricht der negative Teil der Laurent-Reihe nicht ab. Der Koeffizient a_{-1} von (z-z0)^{-1} heißt Residuum. Der Residuensatz erlaubt es, Integrale über meromorphe Funktionen und Funktionen mit wesentlichen Singularitäten mithilfe dieses Wertes zu bestimmen; er kann auch zur Berechnung bestimmter reeller Integrale verwendet werden, etwa beim gaußschen Fehlerintegral.

Weitere Ergebnisse und mehrere Variablen

Weitere wichtige Ergebnisse der Funktionentheorie einer komplexen Variablen sind der riemannsche Abbildungssatz und der Fundamentalsatz der Algebra. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass sich ein Polynom über den komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Für Polynome über den reellen Zahlen ist das mit reellen Linearfaktoren im Allgemeinen nicht möglich. Ein weiterer Forschungsschwerpunkt ist die analytische Fortsetzbarkeit holomorpher und meromorpher Funktionen an die Grenzen ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.

Die Funktionentheorie gibt es auch für komplexwertige Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Dort unterscheiden sich die Verhältnisse grundlegend von der Theorie einer Variablen. In mehreren Variablen gibt es kein Analogon zum cauchyschen Integralsatz. Der Identitätssatz gilt nur abgeschwächt. Die cauchysche Integralformel lässt sich jedoch verallgemeinern; in dieser Form heißt sie Bochner-Martinelli-Formel.

Meromorphe Funktionen mehrerer Variablen besitzen keine isolierten Singularitäten. Das folgt aus dem Kugelsatz von Hartogs; als Konsequenz gibt es auch keine isolierten Nullstellen. Auch der riemannsche Abbildungssatz hat in höheren Dimensionen kein entsprechendes Gegenstück. Selbst die Einheitskugel und der Polyzylinder, zwei natürliche Verallgemeinerungen der eindimensionalen Kreisscheibe, sind in mehreren Dimensionen nicht biholomorph äquivalent. Ein großer Teil der Theorie mehrerer Variablen behandelt Fortsetzungsphänomene, darunter riemannsche Hebbarkeitssätze, den Kugelsatz von Hartogs, den Satz von Bochner über Röhrengebiete und die Cartan-Thullen-Theorie. Anwendungen gibt es zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie.

Komplexe Geometrie und Anwendungen

Die komplexe Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das Methoden der Funktionentheorie nutzt. Während in anderen Bereichen der Differentialgeometrie glatte Mannigfaltigkeiten mit reeller Analysis untersucht werden, betrachtet die komplexe Geometrie Mannigfaltigkeiten mit komplexen Strukturen. Auf komplexen Mannigfaltigkeiten kann man mithilfe des Dolbeault-Operators holomorphe Abbildungen definieren. Diese werden dann mit Methoden der Funktionentheorie und der algebraischen Geometrie untersucht.

Die Unterschiede zwischen Funktionentheorie in einer und in mehreren Variablen zeigen sich auch in der komplexen Geometrie. Die Theorie der riemannschen Flächen beschäftigt sich mit Flächen mit komplexer Struktur, also eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten. Sie ist reichhaltiger als die Theorie n-dimensionaler komplexer Mannigfaltigkeiten.

Funktionentheoretische Methoden werden auch in anderen mathematischen Gebieten eingesetzt. In der Zahlentheorie führt ihre Verwendung zur analytischen Zahlentheorie; ein wichtiges Ergebnis ist der Primzahlsatz. Reelle Funktionen, die sich in Potenzreihen entwickeln lassen, sind Realteile holomorpher Funktionen und können dadurch auf die komplexe Ebene erweitert werden. Dadurch werden Zusammenhänge sichtbar, die im Reellen verborgen bleiben können, zum Beispiel die eulersche Identität.

Anwendungen gibt es auch in der Physik, etwa in der Quantenmechanik bei der Darstellung von Wellenfunktionen, und in der Elektrotechnik bei zweidimensionalen Strom-Spannungs-Diagrammen. Die eulersche Identität ist außerdem Grundlage der komplexen Form der Fourier-Reihe und der Fourier-Transformation. Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil harmonische Funktionen sind, also die Laplace-Gleichung erfüllen. Außerdem ist das Wegintegral einer holomorphen Funktion vom Weg unabhängig; historisch war dies das erste Beispiel einer Homotopieinvarianz und beeinflusste die algebraische Topologie. In komplexen Banachalgebren spielen funktionentheoretische Mittel ebenfalls eine wichtige Rolle, etwa beim Satz von Gelfand-Mazur und beim holomorphen Funktionalkalkül.