Geometrische Folge

Grundidee und Definition

Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der benachbarte Folgenglieder immer im selben Verhältnis zueinander stehen. Das bedeutet: Von einem Glied zum nächsten wird stets mit demselben Faktor multipliziert. Die Summe der Glieder einer geometrischen Folge heißt geometrische Reihe.

In der engen Definition heißt eine Zahlenfolge (a_n) geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist. Bezeichnet man diese konstante Zahl mit q, dem Quotienten, dann gilt für jeden Folgenindex n:

a_{n+1} / a_n = q.

Dabei muss q != 0 vorausgesetzt werden, weil sonst das Verhältnis a_{n+1}/a_n nicht für alle benachbarten Glieder existieren würde.

In der weiteren Definition wird die Folge über die Multiplikationsregel beschrieben:

a_{n+1} = a_n · q.

Diese Gleichung entsteht aus der Quotientengleichung durch Multiplikation mit a_n. Bei dieser Definition muss q = 0 nicht ausgeschlossen werden. Der Wert q gibt also an, mit welchem konstanten Faktor jedes Glied aus dem vorherigen entsteht.

Berechnung der Folgenglieder

Die Glieder einer geometrischen Folge a_0, a_1, a_2, ... können schrittweise mit der Rekursionsformel berechnet werden:

a_{n+1} = a_n · q.

Eine Rekursionsformel ist eine Formel, bei der ein neues Glied aus einem vorherigen Glied berechnet wird. Beginnt man mit dem Anfangsglied a_0, erhält man zum Beispiel:

a_1 = a_0 · q,

a_2 = a_1 · q = (a_0 · q) · q = a_0 · q^2,

a_3 = a_2 · q = (a_0 · q^2) · q = a_0 · q^3.

Allgemein gilt für das n-te Glied einer geometrischen Folge mit Anfangsglied a_0:

a_n = a_0 · q^n.

Diese Formel heißt explizite Formel, weil man damit ein bestimmtes Folgenglied direkt berechnen kann, ohne alle vorherigen Glieder einzeln auszurechnen. Wenn das Anfangsglied stattdessen mit a_1 bezeichnet wird, lautet die Formel:

a_n = a_1 · q^{n-1}.

Mithilfe der geschlossenen Formel kann man eine geometrische Folge mit Anfangsglied a_0 und Quotienten q kurz als (a_0 q^n) schreiben.

Typische Zahlenbeispiele

Ein Beispiel ist die geometrische Folge mit Anfangsglied a_0 = 5 und Quotient q = 3. Ihre Glieder lauten:

5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645, 10935, 32805, ...

Hier wird jedes Glied mit 3 multipliziert. Allgemein gilt:

a_n = 5 · 3^n.

Ein zweites Beispiel hat das Anfangsglied a_0 = 1 und den Quotienten q = -1/2. Die Folge lautet:

+1, -1/2, +1/4, -1/8, +1/16, -1/32, +1/64, -1/128, +1/256, ...

Durch den negativen Quotienten wechseln die Vorzeichen. Allgemein gilt:

a_n = 1 · (-1/2)^n = (-1)^n / 2^n.

Auch eine konstante Folge kann geometrisch sein. Die Folge 2, 2, 2, ... ist eine geometrische Folge mit Anfangsglied a_0 = 2 und Quotient q = 1, weil jedes Glied durch Multiplikation mit 1 unverändert bleibt.

Anwendungen

Geometrische Folgen beschreiben Wachstums- und Schrumpfungsprozesse, bei denen sich eine Messgröße zum Zeitpunkt n+1 aus der Messgröße zum Zeitpunkt n durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q ergibt.

Beim Zinseszins wächst Kapital geometrisch. Bei einem Zinssatz von fünf Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Dieser Faktor heißt Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich nach einem Jahr:

1000 Euro · 1,05 = 1050 Euro.

Nach zwei Jahren ergibt sich:

1000 Euro · 1,05^2 = 1102,50 Euro.

Nach drei Jahren ergibt sich:

1000 Euro · 1,05^3 = 1157,63 Euro.

Ein weiteres Beispiel ist ein unelastischer Stoß: Ein Ball wird aus einer Anfangshöhe h_0 fallen gelassen. Nach jedem Aufprall springt er wieder nach oben, verliert aber durch Reibung einen festen Prozentsatz p% seiner Sprunghöhe. Dann bilden die Sprunghöhen h_n nach dem n-ten Aufprall eine geometrische Folge mit Anfangsglied h_0 und Verhältnis q = 1 - p%.

Auch in der Musik tritt eine geometrische Folge auf, nämlich bei der gleichstufigen Stimmung. Dabei ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave gilt:

f(n) = a_0 · (12. Wurzel aus 2)^n.

Dabei kann a_0 zum Beispiel die Frequenz des Kammertons sein. Der Wachstumsfaktor ist q = 12. Wurzel aus 2.

Konvergenz

Bei einer unendlichen geometrischen Folge (a_0 q^n) untersucht man, ob sie gegen einen festen Grenzwert konvergiert oder divergiert. Konvergieren bedeutet, dass sich die Folgenglieder einem bestimmten Wert immer weiter annähern. Divergieren bedeutet, dass kein solcher Grenzwert vorliegt.

Für a_0 = 0 erhält man die konstante Folge 0, 0, ... . Sie konvergiert gegen 0.

Für a_0 != 0 hängt das Verhalten von q ab. Ist q = -1, springen die Folgenglieder immer zwischen a_0 und -a_0 hin und her. Die Folge divergiert.

Ist q = 1, entsteht die konstante Folge a_0, a_0, ... . Sie konvergiert gegen a_0.

Ist |q| > 1, werden die Beträge der Folgenglieder immer größer. Weil die Vergrößerung prozentual geschieht, wachsen auch die Zuwächse immer weiter. Die Folge divergiert.

Ist |q| < 1, dann wird q^n zu einer Nullfolge. Das bedeutet: q^n nähert sich immer weiter 0 an. Dann konvergiert auch (a_0 q^n) gegen 0. Der Artikel begründet dies mit dem Archimedischen Axiom und der Bernoullischen Ungleichung: Für |q| < 1 gilt 1/|q| > 1, also 1/|q| = 1 + δ für ein δ > 0. Daraus folgt schließlich |q^n| < ε für alle hinreichend großen n und damit die Konvergenz gegen 0.

Name und geometrisches Mittel

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich vom geometrischen Mittel ab. Das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen x und y ist √(x · y). In einer positiven geometrischen Folge ist jedes Glied außer dem Anfangsglied das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder.

Für eine geometrische Folge mit a_i = a_0 q^i gilt:

a_{i+1} · a_{i-1} = a_0 q^{i-1} · a_0 q^{i+1} = a_0^2 q^{2i} = (a_0 q^i)^2 = a_i^2.

Daraus folgt:

a_n = √(a_{i+1} · a_{i-1}).

Diese Eigenschaft erklärt den Namen der Folge, ist aber für das Rechnen mit geometrischen Folgen weniger zentral als die feste Multiplikation mit dem Quotienten q.